基于单替代变量控制的广义Lorenz系统的混沌同步.pdf

第36卷第3期2023年9月Vol.36 No.3Sep.2023闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University（Natural Science）基于单替代变量控制的广义Lorenz系统的混沌同步吴晓锋,陈丽萍（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）摘要：研究广义Lorenz系统在替代变量控制下的混沌同步问题.借助非线性时变系统稳定性理论，严格证明了通过一个广义Lorenz系统的单状态变量去替代另一个广义Lorenz系统的相应变量以实现两个系统全局混沌同步的判据，这些判据表达为关于系统参数的简单代数式.实例仿真验证这些判据的有效性.关键词：混沌；同步；广义Lorenz系统；替代变量控制中图分类号：O157.5 文献标志码：A 文章编号：2095-7122（2023）03-0067-06Chaos synchronization of the generalized Lorenz systems via a single-variable substitution controlWU Xiaofeng,CHEN Liping(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:The paper makes an investigation of chaos synchronization of the master-slave generalized Lorenz systems via substitution variable control.The study,by means of stability theory of nonlinear time-varying systems,rigorously proves several criteria for two generalized Lorenz systems achieving global chaos synchronization by using a single state variable of one system to substitute the corresponding variable of another system,which are expressed as the algebraic formula for the system parameters.Effectiveness of the new criteria is then verified in the numerical examples.Key words:chaos;synchronization;generalized Lorenz system;substitution variable control广义Lorenz系统是一类由三阶常微分方程描述的混沌系统，它涵盖了多个著名的混沌系统，如经典Lorenz系统、Chen系统和L系统等，当系统参数取适当值时，广义Lorenz系统呈现混沌的运动轨迹1.许多研究表明，两个混沌系统通过适当的耦合控制可以达到混沌轨迹的一致（简称混沌同步）2-5.混沌同步已经在多个领域得到应用，如安全通信6、化学反应器7、半导体激光器8等.一些研究者已经证明了两个广义Lorenz系统在一定控制方式下可以达到混沌同步.这些控制方式包括滑模控制9，线性状态误差反馈控制10，自适应控制11等.替代变量控制是最早实现混沌同步的一种开环控制方法2.然而，基于替代变量控制的两个广义Lorenz系统的混沌同步尚未得到研究.在替代变量控制中，单替代变量控制是最简单且控制成本最低的.本文着重研究基于单替代变量控制的两个广义Lorenz系统的混沌同步问题，严格证明了两个广义Lorenz系统通过单变量替代耦合实现混沌同步的充分性判据，它们表达为关于系统参数的简单不等式形式，方便实用.实例仿真验证了这些判据的有效性.收稿日期：2023-04-26基金项目：福建省自然科学基金(2020J01800)作者简介：吴晓锋(1963)，男，福建泉州人，博士，教授.2023年闽南师范大学学报（自然科学版）1 问题描述考虑如下广义Lorenz系统x=Ax+f(x)=()a11a120a21a22000a33x+x1()00000-1010 x，（1）其中：状态变量x=(x1x2x3)TR3；a11a12a21a22a33为系统参数.令系统(1)为主系统.把它的状态变量xR3分解为驱动变量xdRnd和响应变量xrRnr，并表示为x=(xdxr)T，其中nd+nr=3.因此，主系统(1)可根据x=(xdxr)T改写为M：xd=A11xd+A12xr+f1()x xr=A21xd+A22xr+f2()x.（2）其中：A11Rndnd，A12Rndnr，A21Rnrnd，A22Rnrnr，f1(x)Rnd，f2(x)Rnr.现在考虑如下相同的广义Lorenz系统作为从系统S：zd=A11zd+A12zr+f1()z zr=A21zd+A22zr+f2()z（3）其中：变量z,zd和zr的维数分别为 3,nd和nr.从上述主系统中提取驱动变量xd的信号去替代从系统中的相应变量zd.即zd(t)=xd(t)，t0.（4）上述控制技术称为替代变量控制12，它表达了主系统和从系统之间的一种耦合关系.公式(2)至公式(4)组成了广义Lorenz系统在替代变量控制下的主-从同步框架.下面考虑单替代变量xdx1x2x3的情形.首先证明如下结论.引理引理1 对于由公式(2)至公式(4)组成的主-从同步框架，无论单替代变量xdx1x2x3如何选择，总存在一个仅与主系统状态变量x有关的矩阵(x)R22，使得f2(x)-f2(z)=(x)(xr-zr).证明证明 对于xd=x1，有f2(x)=(-x1x3x1x2)T和f2(z)=(-z1z3z1z2)T=(-x1z3x1z2)T.因此,f2(x)-f2(z)=()-x1x3+x1z3x1x2-x1z2=()0-x1x10()x2-z2x3-z3=(x)(xr-zr).其中，(x)=()0-x1x10.同理可证，对于xd=x2和xd=x3，f2(x)-f2(z)=(x)(xr-zr)仍可成立，并且对于xd=x2，(x)=()00 x20；对于xd=x3，(x)=()00-x30.证毕.现定义一个误差变量er(t)=xr(t)-zr(t)R2.由公式(2)至公式(4)和引理1容易推导如下非自治误差系统er(t)=(A22+(x)er(t).（5）显然,er=0是误差系统(5)的唯一平衡点.因此，如果误差系统(5)在er=0是全局渐进稳定的，则对于混 沌 主 系 统 的 任 意 初 始 条 件x(0)和 从 系 统 的 任 意 初 始 条 件z(0)，响 应 子 系 统xr(t)和zr(t)满 足limtxr()t-zr()t=0.即主系统采用单变量xdx1x2x3替代从系统的相应变量使得两个系统达到全局混沌同步.68吴晓锋，等：基于单替代变量控制的广义Lorenz系统的混沌同步第3期2 混沌同步判据为了证明主系统和从系统在单替代变量控制下达到全局混沌同步的判据，需要引入一个已知的结论13.引理引理2 混沌系统的轨迹是有界的.即对于混沌的广义Lorenz系统，一定存在正数 i和-i(i=123)，使得其轨迹满足-ixi(tx(0)i，i=123，t0.借助非线性时变系统的Lyapunov稳定性理论（文献14的定理4），可以得到下面的混沌同步判据.命题命题1 主系统和从系统在单替代变量xd=x1的耦合下达到全局混沌同步，如果系统参数满足a220，a330.（6）证明证明 取李雅普洛夫函数V(er)=erTPer，0P=PTRnrnr.显然，存在K函数(er)=(er)=erTPer，使得上述V(er)满足文献14的定理4的条件.借助于误差系统(5)，V(er)对时间的导数为V(er)=erTPer+erTPer=erT(A22+(x)TP+P(A22+(x)er.因此，如果(A22+(x)TP+P(A22+(x)0，那么Y1=(A22+(x)TP+P(A22+(x)=()2a22(p-1)x1(p-1)x12pa33.由Sylvester准则可知，上述对称矩阵Y10，当且仅当a220且x21p2-2(x21+2a22a33)p+x210，使得对于满足不等式(6)的任意系统参数a22和a33，不等式(8)成立.如果轨迹分量x10，那么不等式(8)有解p0，当且仅当下面两个不等式同时成立.即D=4(x21+2a22a33)2-4x21=16a22a33(x21+a22a33)0，（9）2(x21+2a22a33)+D 0.（10）进一步地，如果不等式(6)成立，则不等式(9)和不等式(10)始终成立.证毕.当xd=x2时，可知22=()a1100a33，(x)=()00 x20.采用上述类似方法可以证明下列命题.命题命题2 主系统和从系统在单替代变量xd=x2的耦合下达到全局混沌同步，如果系统参数满足a110，a330.（11）命题命题3 主系统和从系统在在单替代变量xd=x3的耦合下达到全局混沌同步，如果系统参数满足a110，a220，a11a22-a12(a21-3)0，（12）其中：-3表示主系统中状态分量x3的轨迹下界.692023年闽南师范大学学报（自然科学版）证明证明 当xd=x3时，可知A22=()a11a12a21a22，(x)=()00-x30.类似于命题1的证明可知，如果不等式(7)成立，则主-从广义Lorenz系统在xd=x3下达到混沌同步.取正定对角矩阵P=diag1p，其中p0，那么Y2=(A22+(x)TP+P(A22+(x)=()2a11a12+p()a21-x3a12+p()a21-x32pa22.因此，对称矩阵Y20 当且仅当a11(a12+p(a21-x3)2.后一个不等式可转换为(a21-x3)2p2+2a12(a21-x3)-2a11a22p+a1220 使得不等式(13)对任意的a110 和a220，此时该不等式的解为-a12()a21-x3-2a11a22-2D()a21-x32p0当且仅当下面两个不等式同时成立D=a11a22a11a22-a12(a21-x3)0，（14）2D-a12(a21-x3)-2a11a22=2D+2a11a22-a12(a21-x3)0.（15）不等式(15)又可以改写为1a11a22(D+a11a22)20.（16）由于已要求a110，因此，为了使得不等式(16)成立，必须要求a220.因此，如果下面条件成立：a110，a220，（17）则不等式(14)和不等式(16)同时成立.显然，如果条件(12)成立，则不等式组(17)成立.证毕.3 实例演示借助MATLAB软件来验证上述命题所描述的混沌同步判据的有效性，其中仿真了主系统和未受控制的从系统的混沌轨迹，以及主系统和从系统在单替代变量耦合下的同步现象.取广义Lorenz系统的参数为a11=-10，a12=10，a21=28，a22=-1，a33=-8 3.此时的广义Lorenz系统是一个经典 Lorenz 系统15.任取主-从广义 Lorenz 系统的初始条件分别为x(0)=(2 3.5 18.4)T和z(0)=(-1 10.2 8.3)T.考虑单替代变量xd=x1.显然，上述广义Lorenz系统参数满足命题1的同步判据.图1(a)和(b)分别描绘了主系统和未受控制的从系统的轨迹，它们表现为不同的混沌吸引子.图1(c)和(d)分别70吴晓锋，等：基于单替代变量控制的广义Lorenz系统的混沌同步第3期给出主系统和从系统通过单替代变量控制xd=x1达到混沌同步的过程，从而验证了命题1的同步判据.现取广义 Lorenz系统的另一组参数：a11=-35 a12=35 a21=-7 a22=28 a33=-3.此时的广义 Lorenz系统是一个Chen系统16.任意取主-从Chen系统的初始条件分别为x(0)=(1 2 5)T和z(0)=(4 6 3)T.考虑单替代变量xd=x2.上述Chen系统的参数满足命题2的同步判据.图2(a)和(b)分别描绘了主Chen系统和未受控制的从Chen系统的轨迹.主Chen系统和从Chen系统可以通过单替代变量xd=x2的耦合达到混沌同步，如图2(c)和(d)所示，从而验证命题2的同步判据.(a)主经典Lorenz系统(c)误差x2-z2的轨迹(b)从经典Lorenz系统(d)误差x3-z3的轨迹图1 主-从广义Lorenz系统(a11=-10 a12=10 a21=28 a22=-1 a33=-8 3)在xd=x1下的混沌同步Fig.1 Chaos synchronization of the master-slave generalized Lorenz systems via xd=x1,where a11=-10 a12=10 a21=28 a22=-1 a33=-8 3(a)主Chen系统(b)从Chen系统x1 z1x3z3x1 z1x2z3t tx2-z2x3-z3712023年闽南师范大学学报（自然科学版）参考文献：1 ELIKOVSK S,CHEN G.On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systemsJ.International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(8):1789-1812.2 CARROLL T L,PECORA L M.Synchronizing nonautonomous chaotic circuitsJ.IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Analog and Digital Signal Processing,1993,40(10):646-650.3 WU X,CHEN G,CAI J.Chaos synchronization of the master-slave generalized Lorenz systems via linear state error feedback controlJ.Physica D:Nonlinear Phenomena,2007,229(1):52-80.4 YAN S,WANG E,GU B,et al.Analysis and finite-time synchronization of a novel double-wing chaotic system with transient chaosJ.Physica A:Statistical Mechanics and Its Applications,2022,602:127652.5 TAN Z,SUN J,ZHANG H,et al.Chaos synchronization control for stochastic nonlinear systems of interior PMSMs based on fixed-time stability theoremJ.Applied Mathematics and Computation,2022,430:127115.6 HASSAN M F,HAMMUDA M.A new approach for constrained chaos synchronization with application to secure data communicationJ.Journal of the Franklin Institute,2019,356(12):6697-6723.7 YADAV V K,DAS S,BHADAURIA B S,et al.Stability analysis,chaos control of a fractional order chaotic chemical reactor system and its function projective synchronization with parametric uncertaintiesJ.Chinese Journal of Physics,2017,55(3):594-605.8 MU P,PAN W,YAN L,et al.Route to broadband optical chaos generation and synchronization using dual-path optically injected semiconductor lasersJ.Optik,2013,124(21):4867-4872.9 LIN J S,YAN J J.Adaptive synchronization for two identical generalized Lorenz chaotic systems via a single controllerJ.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10(2):1151-1159.10 WU X,CHEN G,CAI J.Chaos synchronization of the masterslave generalized Lorenz systems via linear state error feedback controlJ.Physica D:Nonlinear Phenomena,2007,229(1):52-80.11 ZHOU X,XU Y.Hybrid synchronization of uncertain generalized Lorenz system by adaptive controlJ.Journal of Control Science and Engineering,2018,2018:1-5.12 CHEN Y,WU X,GUI Z,Global robust synchronization for time-varying phase mismatching electro-mechanical gyrostat systems under variable substitution controlJ.Applied Mathematical Modeling,2012,36(8):3764-3778.13 ZHANG F,ZHANG G,LIN D,et al.New estimate the bounds for the generalized Lorenz systemJ.Mathematical Methods in the Applied Sciences,2015,38(8):1696-1704.14 SLOTINE J J E,LI W.Applied nonlinear control(Reprint Edition)M.Beijing:China Machine Press,2004.15 LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flowJ.Journal of Atmospheric Sciences,1963,20(2):130-141.16 CHEN G,UETA T.Yet another chaotic attractorJ.International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1465-1466.责任编辑:姜生有4 结论研究了两个广义Lorenz系统的混沌同步问题.通过建立基于替代变量控制的广义Lorenz系统的主-从同步框架，可以把该混沌同步问题转换为一个非线性时变误差系统的全局稳定性问题.严格证明了两个广义Lorenz系统通过单替代变量耦合实现混沌同步的代数判据，并运用Matlab软件进行实例仿真，验证了所建立的同步判据的有效性.(c)误差x1-z1的轨迹(d)误差x3-z3的轨迹图2 主-从Chen系统(a11=-35 a12=35 a21=-7 a22=28 a33=-3)在xd=x2下的混沌同步Fig.2 Chaos synchronization of the master-slave Chen systems via xd=x2,where a11=-35 a12=35 a21=-7 a22=28 a33=-3t1 tx1-z1x3-z372