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2012年广东中考数学专题12：压轴题
2012年广东中考数学专题12：压轴题

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广东2012年中考数学试题分类解析汇编
专题12：押轴题
一、选择题
1。（2012广东省3分)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】
　 A． 5 B． 6 C． 11 D． 16
【答案】C.
【考点】三角形三边关系。
【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。
2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】

A．π B． C． D．
【答案】D。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可:
在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴。
∴.
设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD,
∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形.∴BD=CD=1。
∴点D是AB的中点.
∴S.
∴

故选D。
3. （2012广东广州3分）如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【 】

　　A．x＜﹣1或x＞1　B．x＜﹣1或0＜x＜1　C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1　D．﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：
由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。故选D.
4。 (2012广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为【 】
　　A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．不能确定
【答案】C。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：
∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线的图象经过一、三象限，
∴直线y=x+1与双曲线有两个交点。故选C。
5. （2012广东汕头4分）如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】

A．110° B．80° C．40° D．30°
【答案】B。
【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据旋转的性质可得:∠A′=∠A,∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，∴∠A′=40°。
∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°。∴∠ACB=30°。
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°,故选B.
6. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o,点A1、A2、A3 在射线ON上,点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2。 △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质.
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形,
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°.
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3.
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32.故选C.
7。 （2012广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】
A． B． C． D．
【答案】B.
【考点】反比例函数的性质和图象.
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴。故选B。
8。 （2012广东肇庆3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【 】

A．扇形甲的圆心角是72°
B．学生的总人数是900人
C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人
D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人
【答案】D。
【考点】扇形统计图，扇形圆心角的求法，频数、频率和总量的关系。
【分析】A．根据甲区的人数是总人数的，则扇形甲的圆心角是：×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；
B．学生的总人数是：180÷=900人，故此选项正确，不符合题意；
C．丙地区的人数为：900× =450，，乙地区的人数为：900×=270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450－270=180人，故此选项正确，不符合题意；
D．甲地区的人数比丙地区的人数少270－180=90人，故此选项错误，符合题意.
故选D。
9. （2012广东珠海3分)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为【 】
A。 30° B. 45° C ．60° D．90°
【答案】C。
【考点】弧长的计算。
【分析】根据弧长公式，即可求解
设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=60.故选C.
二、填空题
1. (2012广东省4分）如图,在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

【答案】。
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F.
∵AD=2,AB=4,∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1,EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=。
2. （2012广东佛山3分）如图,边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲

【答案】2m＋4。
【考点】图形的变换，一元一次方程的应用（几何问题)。
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：
设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m＋4)2－m2=(m＋4＋m）（m＋4－m）=8m＋16，解得x=2m＋4。
3. （2012广东广州3分)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始,
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 ▲ 　倍，第n个半圆的面积为
　 ▲ 　(结果保留π）

【答案】4；。
【考点】分类归纳（图形的变化类）,半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法.
【分析】由已知，第3个半圆面积为：,第4个半圆的面积为：，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍。
由已知，第1个半圆的半径为,第2个半圆的半径为，第3个半圆的半径为，
······第n个半圆的半径为.
∴第n个半圆的面积是。
4. （2012广东梅州3分）如图,连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　 ▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 ▲ 点．

【答案】7;E。
【考点】分类归纳（图形的变化类)。
【分析】①由图可知,从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
5. （2012广东汕头4分）如图,在▱ABCD中，AD=2，AB=4,∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　(结果保留π）．

【答案】.
【考点】平行四边形的性质,扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F。
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=。
6. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中,C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交于点D,连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．

【答案】7。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB。
∴∠AOM+∠BOF=90°.
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM.
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°,∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF(AAS）。∴AM=OF，OM=FB。
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形.∴AM=CF，AC=MF=5。
∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。
∵OC=6,∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=(6）2，解得：CF=OF=6.
∴FB=OM=OF－FM=6－5=1.∴BC=CF+BF=6+1=7。
7。 （2012广东湛江4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4,…,an，则an=　 ▲ ．

【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法.
【分析】分析规律:
∵a2=AC,且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
8. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：，，,,，…… ，它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：
分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，
∴第k个数分子是2k,分母是2k+1。∴这一组数的第k个数是。
9. (2012广东珠海4分）如图,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为E，如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE=　 ▲ ．

【答案】。
【考点】垂径定理，勾股定理,锐角三角函数的定义。
【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数:
。
三、解答题
1. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值;
（3）求EF的长．

【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质,勾股定理，锐角三角函数定义,三角形中位线定理。
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。
(2）由（1)可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x,则GB=8—x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。
2. （2012广东省9分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1)求AB和OC的长；
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m,△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
（3）在（2）的条件下,连接CE，求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π）．

【答案】解:（1）在中，
令x=0，得y=－9,∴C（0，﹣9）；
令y=0，即,解得：x1=﹣3，x2=6,∴A（﹣3，0)、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC,∴,即：。
∴s=m2（0＜m＜9)。
(3）∵S△AEC=AE•OC=m,S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO,得：，即:。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式,当x=0，可确定C点坐标;当y=0时，可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。
（2)直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3)①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
3。 （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
　　　　初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
　　　　请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
　(1)写出奇数a用整数n表示的式子；
　(2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
　（3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
。。。
yi
0
1
4
9
16
25
.。。
yi+1－yi
1
3
5
7
9
11
.。.

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解:（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1.
（2)有理数b=（n≠0)。
（3)①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0

1

2

。.。
yi
0

1

4

...
yi+1－yi

。。。

故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、 、 ….
②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0

..。
yi
0

。..
yi+1－yi

。。。

故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
【考点】分类归纳（数字的变化类)，二次函数的性质，实数。
【分析】（1)n是任意整数，偶数是能被2整除的数,则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
4。 （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4)，以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2,b=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解:（1）作图如下:

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4.
（2）连接BD，交AC于E，
∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。
设CE=x，则AE=4－x，
∵BC= b=3,AB= a=2，
∴由勾股定理得：
解得：。
∴.
∴四边形ABCD的面积是。
答：四边形ABCD的面积是。
【考点】作图（复杂作图）,相交两圆的性质,勾股定理。
【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交,才能得出四边形，即可得出答案；
(2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC,BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程,求出x,根据三角形的面积公式求出即可.
5。 （2012广东广州14分）如图,抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B的坐标；
(2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4,0），M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式．

【答案】解：（1)在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。
∵点A在点B的左侧,∴A、B点的坐标为A（﹣4，0)、B(2，0）。
（2)由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0,得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中,。
设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=。
如图1,在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=,这样的直线有2条，分别是L1和L2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A(﹣4，0），B(0，3）坐标代入，得
，解得。来源：21
∴直线AC解析式为。来源:21世纪教育网]
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位)而形成的,
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为.∴D1（﹣4，）.
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2(﹣1,).
综上所述,D点坐标为：D1（﹣4，)，D2(﹣1,）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(﹣4，0）,B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=,sin∠MFE=，cos∠MFE=.
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×.
则ON=。∴M点坐标为(，）。
直线l过M(，),E（4，0），
设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.
综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质,勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质,圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0,解一元二次方程即可求解.
（2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
6。 （2012广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°)．
(1）当α=60°时，求CE的长;
(2）当60°＜α＜90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值．

【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=,即sin60°=,解得CE=。
（2）①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中,AB∥CD，∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF,AG=CD。
∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点,∴AG=5，AF=AD=BC=5.∴AG=AF.
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此,存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF(①中已证），∴CF2=(CG)2=CG2=（200﹣20x)=50﹣5x.
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。
∴当x=，即点E是AB的中点时,CE2﹣CF2取最大值。
此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，
∴。
【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质，对顶角的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质,二次函数的最值，勾股定理.
【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
（2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF,再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解.
②设BE=x,在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。
7. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值,并求出最小值．
【答案】（1)证明:∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0，
∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。
∵d=|x1﹣x2｜，
∴d2=（x1﹣x2)2=（x1+x2）2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2)2+4。
∴当p=2时，d 2的最小值是4.
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】（1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得.
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】
（2）把点(﹣1,﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。
8. （2012广东梅州11分）如图,矩形OABC中，A(6，0)、C（0，2）、D(0，3)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m;若不存在，请说明理由．
(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1)①（6，2). ②30。③（3，3).
(2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3)当0≤x≤3时,
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x)，
此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时,如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4,
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
.
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数,特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2).
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数:
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D(0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①:MN=AN=3,则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合.
∴点P与D重合.∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600

又，
∴，解得:m=3﹣。
情况③AM=NM,此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0。5=2。5，AG= AN=1。5。∴OK=2。∴m=2.
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
9. （2012广东汕头12分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1,1的卡片，它们的背面完全相同,将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀,再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1)用树状图或列表法表示（x，y)所有可能出现的结果；
（2）求使分式有意义的(x，y）出现的概率；
（3)化简分式,并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．
【答案】解：（1）用列表法表示（x,y）所有可能出现的结果如下：

－2
－1
1
－2
（－2,－2）
（－1,－2)
（1，－2）
－1
(－2，－1)
（－1,－1）
(1，－1）
1
（－2，1）
（－1，1）
(1,1）
（2)∵（x,y）所有可能出现的结果共有9种情况，使分式有意义的（x，y）有（﹣1，﹣2）、（1，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2， 1)4种情况，
∴使分式有意义的（x,y）出现的概率是。
（3）。
∵在使分式有意义的4种情况中,值为整数的（x，y)有（1，﹣2）、
（﹣2, 1)2种情况，
∴使分式的值为整数的(x，y）出现的概率是。
【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件,分式的化简求值。
【分析】（1）根据题意列出表或画树状图，即可表示(x,y）所有可能出现的结果。
（2）根据（1)中的表或树状图中找出使分式有意义的情况，再除以所有情况数即可。
（3）先化简，再在使分式有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的
(x，y)的情况，再除以所有情况数即可.
10. (2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π)．

【答案】解：（1）在中,
令x=0,得y=－9，∴C（0,﹣9）；
令y=0,即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0)、B（6，0）。
∴AB=9,OC=9.
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：.
∴s=m2（0＜m＜9)。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：,即：。
∴.
∴以E点为圆心,与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=.
11。 (2012广东深圳9分)如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1,0）、C(－2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗?
请说明理由．

【答案】解:（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0）,∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）.
又∵由抛物线经过C(－2，6）,∴6=a（－2＋4）（－2－1)，解得： a=－1。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4.
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得： ，解得:。
∴直线BC的解析式为y=－2x+2．
∴点E的坐标为（0，2）.
∴。
∴AE=CE。
(3）相似.理由如下：
设直线AD的解析式为y=k1x+b1,则 ,解得：。
∴直线AD的解析式为y=x+4.
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。
∴点F的坐标为（ ）。
则。
又∵AB=5，，
∴。∴。
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA。
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题，待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理,相似三角形的判定。
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。
（2)求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分