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2021年高考数学一师一题押题精选考题理2021年高考数学一师一题押题精选考题理年级：姓名：762021年高考数学一师一题押题精选考题（撞上高考自学版）理撞题点一 集合3撞题点二 常用逻辑用语4撞题点三 函数图象的识别5撞题点四 函数的基本性质6撞题点五 幂指对函数的图象与性质7撞题点六 导数的几何意义8撞题点七 函数零点（小题）9撞题点八 函数零点（解答题）10撞题点九 导数的应用（参数取值范围）12撞题点十 利用导数处理恒成立问题13撞题点十一 利用导数证明不等式15撞题点十二 三角恒等变换16撞题点十三 三角函数的图象与性质17撞题点十四 解三角形（小题型）19撞题点十五 解三角形（大题型）20撞题点十六 向量线性运算及有关概念22撞题点十七 平面向量的数量积24撞题点十八 等差数列25撞题点十九 等比数列26撞题点二十 数列的综合应用27撞题点二十一 数列解答题28撞题点二十二 三视图29撞题点二十三 与球相关的组合体问题30撞题点二十四 空间角问题（小题型）32撞题点二十五 立体几何解答题（空间角与距离）34撞题点二十六 立体几何解答题（探索性问题）36撞题点二十七 直线与圆的位置关系38撞题点二十八 椭圆的基本性质39撞题点二十九 双曲线的基本性质40撞题点三十 抛物线的基本性质42撞题点三十一 圆锥曲线的轨迹问题43撞题点三十二 圆锥曲线中的定点、定值问题44撞题点三十三 圆锥曲线中的最值问题46撞题点三十四 解析几何中的探索性问题48撞题点三十五 古典概型与几何概型49撞题点三十六 条件概率与相互独立事件的概率51撞题点三十七 统计图表问题53撞题点三十八 排列与组合54撞题点三十九 二项式定理55撞题点四十 回归分析56撞题点四十一 正态分布59撞题点四十二 独立性检验61撞题点四十三 离散型随机变量的分布列、期望问题63撞题点四十四 线性规划65撞题点四十五 基本不等式的应用66撞题点四十六 推理与证明67撞题点四十七 程序框图69撞题点四十八 复数70撞题点四十九 坐标系与参数方程71撞题点五十 不等式选讲72撞题点一 集合1（2021石家庄质检）若集合，满足：，则集合ABCD【答案】B【解析】因为集合，满足：，如图，所以集合故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】集合作为送分题，根据10年高考大数据分析，主要考查集合的交、并、补运算（尤其是抽象集合），综合考查函数的定义域、值域及指数函数与对数函数的性质、一元二次不等式的解法等【还可能怎么考】AB；AB；集合元素个数；子集个数；根据集合的关系求参数的范围比如：（2021衡阳一模）已知集合，为的子集，若，则满足题意的集合的个数为A3B4C7D8【答案】D【解析】因为，所以，因为集合的子集个数为，所以满足题意的的个数为8故选D【方法总结】（1）认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件（2）注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误（3）防范空集在解决有关AB=，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑的情况，以防漏解撞题点二 常用逻辑用语2（2021海淀区一模）已知点，则“是等边三角形”是“直线的斜率为”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由点，可得点，在抛物线上，根据抛物线的对称性，只有点，关于轴对称时才有可能是等边三角形，此时直线的斜率为；反之直线的斜率为时，虽然点，关于轴对称，但是不一定是等边三角形综上，可知“是等边三角形”是“直线的斜率为”的充分不必要条件故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】根据10年大数据分析，本撞题点热点：充分必要性；易错点：否命题与命题的否定；难点：命题真假的判断要注意区分否命题与命题的否定，否命题需同时否定命题的条件与结论，而命题的否定只需否定命题的结论【还可能怎么考】充分必要性的判断、四种命题的相互关系、对含有一个量词的命题的否定【方法总结】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件（2）等价法：利用pq与非q非p， q p与非p非q， p q与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法（3）集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B，则A是B的充要条件撞题点三 函数图象的识别3（2021江西模拟）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦，某二和弦可表示为，则函数的图象大致为ABCD【答案】A【解析】根据题意，定义域为，则，所以函数为奇函数，排除选项D，当时，函数的图象在轴上方，由此可排除选项C，当时，函数与函数都是增函数，函数图象增加最快，排除选项B，故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数图象也是新课标高考的常客，一般给出函数的表达式，研究函数图象的形状；也可能以实际背景给出变量间的关系，研究函数图象的形状【还可能怎么考】给定函数图象判断解析式，给定解析式判断函数的图象比如：（2021广东月考）利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的函数称为型函数，写出一个定义域为且值域为的型函数是【答案】（答案不唯一）【解析】根据题意，要求函数的定义域为且值域为，其图象关于轴对称，是偶函数，可以考虑二次函数变换得到，则，故答案为（答案不唯一）【方法总结】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数定义域、值域判断；（2）从函数的单调性判断变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断函数的对称性；（4）从函数的周期性判断；（5）从函数的特征点，排除不符合要求的图象；（6）极限思想撞题点四 函数的基本性质4（2021蚌埠三模）若把定义域为的函数的图象沿轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是ABC是周期函数D存在单调递增区间【答案】C【解析】因为定义域为的函数的图象沿轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，所以的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如对于A：由，则为奇函数，故A不符合题意；对于B：由，可得函数的图象关于直线对称，故B不符合题意；对于D：当时，不存在单调递增区间，故D不符合题意；对于C：设图象的一条对称抽为直线，一个对称中心为，且，则，所以，所以，所以，所以的一个周期为，故C正确故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换等，本类题型属于高考中的高频撞题点，经常与抽象函数、分段函数、复合函数结合到一起考查，尤其是单调性与对称性的双剑合璧题更是命题者青睐的撞题点【还可能怎么考】（1）已知分段函数的单调性求参数的取值范围；（2）若是定义在上的奇函数， 当时，求的解析式；（3）若方程有三个不同的根，求m的取值范围；（4）若是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，计算的值【方法总结】判断函数周期性的方法：（1），则的周期；（2），则的周期；（3）若函数的图象关于点，对称，则是周期函数，且；（4）若函数的图象有两条对称轴，则是周期函数，且；（5）若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则是周期函数，且撞题点五 幂指对函数的图象与性质5（2021江苏四校高考数学联考）若，则ABCD【答案】A【解析】令，则，可知当时，当，又，所以故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】幂指对函数作为基本初等函数，其图象与性质的应用仍然是高考中的热点，而幂、指数式和对数式的运算有所降低重要题型：比较指数式与对数式的大小方法指点：利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小【方法总结】比较大小的方法：（1）利用函数的单调性；（2）利用中间量；（3）利用作差法或作商法；（4）利用数形结合法撞题点六 导数的几何意义6（2021河南省普通高中高考数学适应性试卷）若函数为常数存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】由题可得，设切点坐标为，则过原点的切线的斜率，整理可得，因为存在两条过原点的切线，所以存在两个不同的解设，则，当时，又，所以在，上单调递减，当时，所以在上单调递增，因为当时，且，当时，作出的大致图象，如图所示，又，所以当时，存在两个不同的解，故实数的取值范围是故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】曲线的切线方程问题是课标卷中的熟面孔了，一般比较基础用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程为【还可能怎么考】（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围；（4）已知两个不同曲线有相同切线，求参数问题【易错分析】注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别：（1）在点处的切线方程为；（2）求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程另外，要注意切点既在曲线上又在切线上撞题点七 函数零点（小题）7（2021山东省济南市十一所学校高考数学联考）如果两个函数均存在零点，分别设为，若满足，则称这两个函数互为“度零点函数”若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为【答案】【解析】由题可知函数的零点为，设函数的零点为，则，所以，则，可得，设，则，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，故实数的取值范围为故答案为考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的零点问题是数形兼具的题型，也是高频撞题点，经常作为压轴小题来考查处理思想：把函数问题转化为方程解的问题，调整结构转化为两个易画图象的交点个数问题【还可能怎么考】二分法确定零点的区间、零点范围问题、零点个数问题、零点与导数的问题【方法总结】利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为求函数的值域问题；（3）转化为两个熟知函数的图象的位置关系问题，从而构建不等式求解撞题点八 函数零点（解答题）8（2021深圳一模）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有个零点，求的取值范围（其中常数，是自然对数的底数）【解析】（1）由题可知函数的定义域为，若，则，当时，单调递增，当时，单调递减；若，当时，当时，当时，所以在和上单调递减，在上单调递增；若，则，所以在上单调递减；若，当时，当时，当时，所以在和上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增（2）令，则，由题可知函数的图象与直线有个不同的交点，由（1）可知必有或当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，极小值为，所以函数的图象与直线的图象至多有个交点，不合题意，当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，的极大值为，所以必有成立，因为，所以，所以，即下面求不等式的解集，令，则不等式等价于，令函数，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，所以恒成立，故函数单调递减，又，所以当且仅当时，所以不等式的解集为，所以，所以，又，故的解集为，所以的取值范围为考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的零点问题是近几年高考中的热点题型常见题型有：利用导数讨论零点的个数；利用导数证明零点的唯一性；根据零点个数讨论参数的范围【还可能怎么考】（1）若函数至多有一个零点，求的取值范围；（2）若关于的方程有三个不同的实数根，求的取值范围；（3）若关于的方程至多有一个实数根，求的取值范围【方法总结】判断函数零点个数的常用方法：（1）直接研究原函数，明确函数的单调性，求出函数的极值与最值，画出草图函数的零点个数即函数图象与x轴的交点个数；（2）分离出参数，转化为，利用导数知识明确函数的单调性、极值与最值，结合图象，函数的零点个数即直线与图象的交点个数撞题点九 导数的应用（参数取值范围）9（2021江西上饶一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为ABCD【答案】C 【解析】由可得，即，故在上恒成立因为在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】导数应用是高考命题的热点内容，应用导数研究函数的单调性、极值、最值，难度中等偏上，属于综合性较强的内容【还可能怎么考】求函数的单调区间（极值或最值）、根据单调性（极值或最值）求范围、比较大小、根据零点个数确定范围【方法总结】（1）利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题，往往根据已知与所求合理构造函数，常用构造方法有：条件含有，就构造；若，就构造；若，就构造；若，就构造；若，就构造（2）同构技巧：；撞题点十 利用导数处理恒成立问题10（2021江西省高考数学教学质量检测）已知函数，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数极值点的个数；（2）当，时，都有，求实数的取值范围【解析】（1）当时，记，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，当，即时，单调递增，无极值点；当且，即时，有两个不同的根，有两个极值点，当时，有一个根，有一个极值点（2）依题意对任意的恒成立，记，则，令，则，所以时，时，所以在上单调递增，即时，所以在上单调递增，所以恒成立；即时，所以存在，使得，当时，所以在上单调递减，当时，与题意不符综上所述，实数的取值范围是考题猜测全视角【为什么猜这道题】在不等式恒成立或不等式有解的条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数【还可能怎么考】（1）对于任意的，总存在，使得；（2）对于任意的，总存在，使得；（3）若存在，对于任意的，使得；（4）若存在，对于任意的，使得；（5）对于任意的，使得；（6）对于任意的，使得；（7）若存在，总存在，使得；（8）若存在，总存在，使得【方法总结】恒成立问题的处理方法：参变分离；数形结合；含参讨论；端点效应；必要性探路等方法撞题点十一 利用导数证明不等式11（2021江苏省镇江市高三下学期模拟信息卷）已知为自然对数的底数，函数（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围【解析】（1）因为，由，得，所以，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增（2）令，当时，恒成立等价于恒成立由于，所以，当时，函数在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意；当时，在上单调递增，当，即时，函数在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意；当，即时，若，即时，在上恒小于，则在上单调递减，不符合题意；若，即时，存在使得，所以当时，则在上单调递减，所以，不符合题意综上所述，的取值范围为考题猜测全视角【为什么猜这道题】利用导数证明不等式是高考热点题型，解题关键是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题【还可能怎么考】构造函数证明不等式、双变量不等式证明、极值点偏移题型、数列型不等式的证明【方法总结】此类试题的解题策略：（1）构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数撞题点十二 三角恒等变换12（2021安阳一模）已知，则ABCD【答案】B【解析】由题可得，所以，化简可得，因为，所以，所以故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】三角函数化简求值是高考常考撞题点，对诱导公式、同角基本关系式、二倍角公式的考查是本类问题的重要考查方向之一，本撞题点高考要求不高，掌握课本习题难度即可【还可能怎么考】给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简、三角函数式的证明【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”，“遇根式要升幂”等撞题点十三 三角函数的图象与性质13（2021济南一模）函数在上的图象如图所示，则的解析式可能是ABCD【答案】B【解析】由函数图象可得，函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数对于A：因为，所以选项A不符合题意；对于C：若，当时，所以，所以当时，即时，取得最小值为，与图中的最小值为矛盾，故选项C不符合题意；对于D：因为函数的图象经过点，而选项D中，所以选项D不符合题意；故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】三角函数的图象与性质属于高考必考撞题点，难度中等或偏上常考题型有：三角函数的图象变换，求三角函数的解析式，三角函数的定义域、值域、周期性、单调性与对称性【还可能怎么考】判断三角函数的最值（周期、对称性等）、三角函数的图象变换、已知函数图象求函数的解析式比如：（2021江西质检）已知函数的一个周期的图象如图所示，其中，则ABCD【答案】A【解析】由，可得，又，所以，由可得，可得，因为周期，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以点，关于直线对称，设，则，所以，又，所以，所以故选A【方法总结】（1）已知函数的图象求解析式，；由函数的周期求，；利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求（2）函数的性质：，；周期；由求对称轴；由求递增区间；由求递减区间撞题点十四 解三角形（小题型）14（2021江苏二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔（为塔顶，为塔底）的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的个数是，ABCD【答案】C【解析】对于，已知，在中，利用三角形内角和为可求得，利用正弦定理，可求得，在中，由，即可求；对于，在中，已知一边，一角，无法求解三角形，在中，已知两角，无法求解三角形，在中，已知一边，一角，无法求解三角形；对于，在中，已知一边，两角，由三角形内角和可求得，由正弦定理可求得，在中，已知两角，一边，利用，可求得；对于，在中，已知两角，由，可用表示，由，可用表示，在中，已知，边，表示，利用余弦定理可用表示，在中，利用勾股定理可用表示，在中，已知，表示，表示，利用余弦定理可建立关于的方程，即可求解故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】如果解答题考的是数列的话，小题中必考一道解三角形的小题，难度中等偏上主要考查利用正余弦定理解决边角问题、正余弦定理与面积相结合问题、与正弦定理相关的解的个数问题、判断三角形的形状、正余弦定理与平面向量、不等式、函数等知识的综合应用【还可能怎么考】利用正余弦定理解三角形、判断三角形的形状、与面积相关的问题、解斜三角形【方法总结】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤如下：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化（3）求结果撞题点十五 解三角形（大题型）15（2021山东二模）在；的面积这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在中，内角，的对边分别为，已知，且_，_，求【解析】方案一：选条件因为，所以，由正弦定理得因为，所以因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以由正弦定理可得方案二：选条件因为，所以因为，所以，所以由正弦定理可得，所以，即，因为且，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以由正弦定理可得方案三：选条件因为，所以，由正弦定理得因为，所以因为，所以，因为，所以，因为，所以，由余弦定理可得，所以，由，可得或考题猜测全视角【为什么猜这道题】解三角形实际问题近几年未考查，但并不意味着不考，对此类问题应多加关注常考题型有：测量高度问题、测量距离问题、测量角度问题【还可能怎么考】利用正余弦定理解三角形、利用中线（角平分线、中垂线或高线）解三角形、解四边形问题、实际问题（测量距离、高度、角度等）比如：（2021深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知内接于单位圆，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，若，则的面积最大值为_【答案】【解析】不妨设，若，则由正弦定理可得，故，所以由余弦定理可得，所以显然为由得到的拿破仑三角形（等边三角形），设其边长为，易知，且，所以，故的面积，当且仅当时取等号，故的面积的最大值为故答案为【方法总结】此类问题的一般解题步骤：（1）审题：阅读、理解问题的实际背景及有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型；（3）正确应用正、余弦定理及其他有关知识解三角形；（4）将三角形中的解还原为实际问题的答案撞题点十六 向量线性运算及有关概念16（2021吉林省白城一中高考数学质检试卷）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形中，则图1图2图3AB2CD【答案】D【解析】如图，设与交于点，在上取一点，使得，则，设，则，由图可知，所以，故选D考题猜测全视角【为什么猜这道题】平面向量每年必考一道，重点考查向量的几何运算与代数运算，难度较小此类问题一般都是单独命题，有时作为工具，在解答题中与其他知识交汇到一起考查常见题型有：平面向量的有关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及应用，平面向量基本定理等【还可能怎么考】平面向量基本概念的考查、共线向量定理及应用、平面向量基本定理的应用、向量平行垂直的坐标运算【方法总结】在平面几何图形中，用一组基底，表示某向量（即向量分解表示）：（1）利用向量的加减法、共线定理主动分解转化； （2）先设，再利用向量共线列方程组，解出，的值；（3）取特殊的多边形，以便于建立平面直角坐标系，从而求出向量坐标，利用坐标解决问题撞题点十七 平面向量的数量积17（2021深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为的等边三角形设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为ABCD【答案】C【解析】据题意：圆与圆的半径均为，均是边长为的等边三角形，点为后轮上的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，圆的方程为，可设，所以，故，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】平面向量数量积问题是高考重点考查的内容，研究向量数量积问题主要有两个思路，一是代数法，建立平面直角坐标系，利用坐标研究数量积问题；二是利用基底表示目标向量，把问题转化为已知向量的数量积问题【还可能怎么考】平面向量的数量积的运算、向量的模、向量的夹角、平行与垂直、与四心相关的问题、极化恒等式、向量与其他章节的综合等【方法总结】平面向量数量积的类型及求法：（1）求平面向量数量积有三种方法：夹角公式；坐标公式；利用数量积的几何意义（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简撞题点十八 等差数列18（2021池州一模）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，则数列的前2021项和为 【答案】【解析】由题意可得：，则，设数列的前项和为，则.故答案为.考题猜测全视角【为什么猜这道题】数列如果不考解答题，一般会考两道数列小题，等差数列是其中一个考点，重点考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，也可能考查与的递推关系，或者与其他知识综合到一起考查.【还可能怎么考】等差数列的基本量的计算、等差数列的性质、等差数列的判定、等差数列与函数、不等式的综合.【方法总结】在解决等差数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题转化为一元问题，思路简单，目标明确；二是利用等差数列的性质，但要注意性质使用的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.撞题点十九 等比数列19（2021渭南模拟）已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比A2BCD【答案】C【解析】当数列的公比时，与矛盾，故不符合题意当时，所以因为，所以，即，所以故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】等比数列是数列考查中的又一个重要考点，重点考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，也可能考查与的递推关系，或者与其他知识综合到一起考查.【还可能怎么考】等比数列的基本量的计算、等比数列的性质、等比数列的判定、等比数列与函数、不等式的综合. 【方法总结】求解等比数列的前n项和时有两点值得注意，其一，注意对公比的分类讨论；其二，当公比不为1时，在结构上很有特点，其中.同时要注意等比数列的首项与公比均不为零.撞题点二十 数列的综合应用20（2021瑶海区月考）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，记它们的公共项由小到大排成的数列为，令，则的取值范围为A，BCD，【答案】C【解析】由题意可知数列，的共同项为2，8，32，128，故，由，得，所以，令，则当时，故数列为递增数列，所以，因为时，所以，则，所以，故，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】数列如果以小题形式呈现的话，两道小题有一道小题会比较难，经常将数列与函数、三角、解析几何、不等式等结合到一起考查.【还可能怎么考】等差数列与等比数列的综合、数列与函数的综合、数列与不等式的综合、数列的实际应用.【方法总结】判断数列单调性的方法：作差法、作商法、导数法、递推法、数学归纳法等.撞题点二十一 数列解答题21（2021唐山一模）已知数列满足，记数列的前项和为.（1）求的值；（2）求的最大值【解析】（1）由题知，则当时，（）所以，因此（2）当时，（）（）式减去（）式得，又，所以，所以，且当时，；又，所以时，；又，所以时，；因此时，取得最大值，且考题猜测全视角【为什么猜这道题】课标全国卷中的数列解答题，重点考查通性通法，难度偏易.【还可能怎么考】（1）以等差、等比数列为核心，考查通项与前n项和问题；（2）已知递推公式求通项公式；（3）数列求和；（4）数列与函数、不等式的综合考查.【方法总结】（1）由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等差、等比数列法，取倒数法，取对数法等等；（2）数列求和的常用方法有：直接法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、并项法、倒序相加法等.撞题点二十二 三视图22（2021乌鲁木齐二模）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕簸箕的三视图如图所示（单位：），已知制造簸箕的成本是0.01元/，试估计500元最多可以制造（ ）个簸箕.A43B44C45D46【答案】C【解析】根据几何体的三视图将其还原可知，该几何体可分割为一个三棱柱和两个三棱锥，如图所示：由此可得该几何体的表面积为，因为元，所以，故最多制造45个故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】立体几何一般有两道小题，三视图问题是课标全国卷常考的一个考点.此类问题主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积或体积.由三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.【还可能怎么考】由直观图确定三视图、由三视图还原直观图、利用三视图求几何体的体积或表面积（外接球或内切球的体积或表面积）.【方法总结】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1.首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；2.观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3.画出整体，然后再根据三视图进行调整.撞题点二十三 与球相关的组合体问题23（2021江苏二模）在三棱锥中，ABBC，AC=8，点P到底面ABC的距离为7若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则PA2+PB2+PC2的最小值为 【答案】198 【解析】设AC的中点为O1，则O1为ABC的外接圆的圆心，设点P所在截面圆的圆心为O2，半径为r，则此截面与平面ABC平行，球心O在线段O1O2上，连接，则，OO2=O1O2OO1=73=4，所以r设点P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以O1为圆心，3为半径的圆上，PQ平面ABC，PQ与平面ABC内所有直线垂直，连接PQ，QA，QB，QC，则PA2+PB2+PC2=PQ2+QA2+PQ2+QB2+PQ2+QC2=QA2+QB2+QC2+147而QA2+QB2+QC2 =75，当，反向时，取得最小值12，则PA2+PB2+PC2的最小值为147+75212=198故答案为198考题猜测全视角【为什么猜这道题】几何体的外接球、内切球问题，是立体几何的重点与难点，同时也是高考的热点.【还可能怎么考】柱体、锥体的外接球，几何体的内切球，与几何体棱相切的球的问题. 比如：（2021广州一模）已知三棱锥的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC，先在三棱锥内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥的三个侧面都相切，则球O1的体积为 ，球O2的表面积为 【答案】， 【解析】设O为外接圆的圆心，连接OP，OA.因为是边长为6的等边三角形，所以，由题意可知OP2+OA2=PA2，所以OP=3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，三棱锥的表面积为，由等体积法可得，所以1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，其中D为AB的中点，可知O1O=O1N=1，PN=1，PO1=2，PO2=1R，因为PO2EPO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为故答案为，【方法总结】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于内切球的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球的半径组成的直角三角形，利用勾股定理可求得球的半径.撞题点二十四 空间角问题（小题型）24（2021河南省九师联盟高考数学联考试卷）九章算术卷五商功中描述，几何体“阳马