学位论文-—数学分析解题中的常见错误分析.doc

05信息与计算科学专业 毕业论文摘要
学 号：200510010104

河北理工大学
本科毕业论文

论文题目：
数学分析解题中的常见错误分析
学 院：
河北理工大学理学院
系：
信息与计算科学系
专 业：
信息与计算科学

河北理工大学毕业论文

摘 要

在学习数学分析的过程中，接触了大量的定义、定理、方法和思想。在做题的过程中由于对知识体系、理论体系及方法体系认识不深刻，领悟不透彻、使用不恰当等诸多原因，常常导致解题过程中出现形形色色的错误，本文举例说明并分析在数学分析解题中所出现的常见错误类型，浅析错误背后的成因，挖掘错误的价值，从而错中探究，错中求知，继而进一步揭示数学分析本质。让读者对这些常见的错误类型有进一步的认识，在具体的解题过程中，有一个清楚的解题思路。

关键词：数学分析; 解题，错误分析;

Abstract
In the learning process of mathematical analysis.Access to a large number of definitions. theorems, methods and ideas. Title in the process of doing because of the knowledge system.the theoretical system and method of the system does not recognize the profound. Do not thoroughly understand. Inappropriate use of a number of reasons.Problem-solving process often leads to all sorts of errors occur.In this paper. examples and analysis of mathematical analysis in solving problems arising in the common error types.Analysis of the causes behind errors.Mining the value of error.Wrong in exploring.Wrong in the quest for knowledge.Then further to reveal the nature of mathematical analysis.To allow readers to common errors of these types are further understanding of.In specific problem-solving process.there is a clear problem-solving ideas.

Keywords： Mathematical analysis. Problem-solving. Error Analysis

.

目 录
一、前言 1
二、数学分析解题过程中常见的几大类错误 1
1. 逻辑混乱型错误 1
2. 偷换概念型错误 6
3. 运算模糊型错误 7
4. 以偏概全型错误 11
5. 疏漏型错误 13
三、总结 15
参考文献 16

05信息与计算科学专业　　毕业论文正文

一、 前言
数学分析中的基本概念,基本理论很多，理解和熟练掌握这些基本概念是数学分析解题的基础，对学生来说，重要的不是分门别类地去死记硬背一大堆数学概念、定义和定理，而是要加深对所学知识的理解和运用，学生在学习数学分析时，有时感到比较困难，在作业与练习时，常犯这样那样的错误。本文举例说明并分析在数学分析解题中出现常见错误问题，进一步揭示数学分析本质。启发学生的思维，培养学生的创新能力和应用数学的能力。，继而进一步揭示数学分析本质。让读者对这些常见的错误类型有进一步的认识，在具体的解题过程中，有一个清楚的解题思路
二、数学分析解题过程中常见的几大类错误
1. 逻辑混乱型错误
在数学分析解题过程中，我们发现即便对定义、定理、公式记得十分准确，解题却常常出现一些典型的逻辑混乱型错误，有些本应在中学掌握的逻辑知识，在数学分析解题中却也难免屡屡发生错误。
1. 1常见的逻辑错误
(1) 循环论证违反的充足理由
其逻辑公式是A就是B，B就是A，由此必然推导出A就是A的结论。所谓数学中的循环论证，就是用某些论据来证明一个论题，而那些论据的真实性又要根据这个论题来证明。简单地说，就是用某个命题的自身来证明这个命题，其具体就可以表现为：
1)论证过程中，间接隐蔽或直接明显地以待证命题作为论据来论证
例1 设≤≤，且 。证明：
【错误解法】 因≤，,则根据极限不等式性质得
同理得：=，于此得
分析：本题根据极限不等式性质，但极限不等式性质≤ 需在存在的条件下成立，本题要证 存在且等于，容易发生的错误是用待证的“ 存在”作为论据证明“ 存在”。
【正确解法】 已知 ，则

于此 有 即：
得证：
2)论证中，以待证命题的等价命题作为论据来论证。
例 2 若 在[a，b]上可积，则=在[a，b]上连续。
错误与分析：本题要证明。令G( x)= ，容易发生的错误是：所证在的连续性由==0，即而来，换句话说，是由G(x)在的连续性而来，而
于是(x)在连续 G(x) 在连续，即(x)在连续性由在连续的等价命题“G(X )在的连续性”而来，这正是循环论证的第二类形式。
产生循环论证的根源在于学生对论证的规则不清，缺乏形式逻辑知识所致。 “不许循环论证”是进行正确论证所必须遵循的。前两者是关于论据的，后一个是关于论断方法的。论据是论证的基石，其真实性不应依赖于论题来论证，否则该论据不真实
关键在于解题中要注意渗透逻辑知识，强调论证的规则。只有掌握了必要的逻辑知识，才能避免出现循环论证的错误。

(2)形式论证而内涵不符

形式论证而内涵不符的错误根源在于他们对概念的内涵重视不够。概念是形式逻辑思维的形式之一，是反映客观对象一般的、本质属性的思维形式，是数学定理、数学方法的基础、依据。概念的内涵是该概念所包括的一切对象的共同的本质属性的总和，更是我们必须掌握的。忽视了概念的内涵，必然会导致论证中的某些错误
例3：设（）,; (),().若对每一 ,，则 在上一致收敛于。
错误分析;本题容易发生以下错误：
由（x）,x;则对每一x，对0，，当 ，
有 .又因0,(),则，当时，有取={,},则当时，对，有
于是， () ， 而这里=（,）因而 得出的={，}=
此时 与一致收敛概念中的不符，即因一致收敛概念内涵=不清导致错误。
(3) 误将变量作为常量去处理
数学分析是以变量为研究对象的，学生们往往以常量数学静止的观点看问题。
变量是运动、变化在数学中的反映，误将变量视为常量的根源在于：一方面，我们首先认识的是常量，对变量的认识要相对晚得多、困难得多 另一方面．学习过程上．小学、中学人多接受的是常量数学．用静止观点看问题几乎成了其思维的 陨性”。因此．对以变量为研究对象的数学分析．跨越了一个相当大的阶梯．出现类似错误在所难免多一些辩证法，总之在数学分析解题中少一些形而上学，多一分明确常量与变量的界限辨证关系。
例4 研究 函数 F(y)= 的 连续性 ，其中 f(x) 是 [0,1] 上连续的 正函数 。
错误分析:本题容易发生的错误是：
利用积分第一中值定理得到F(y)=F() =f() arctg
从而
得F(y)在y=0时不连续。错误在于将含量积分与定积分混淆了。
表现在F(y)= 是含y 为参量的积分，因而F(y)=F() 中 ，因而，即此处将随y而变的均视为常量，是将含参量积分混同定积分而忽略了参量y所导致的。
(4) 论证规则中论据的非真实性
论证规则中的“论据必须是真实的”、“论据对于论题应当具有充足的理由”、 为虚伪的论据，对论证也就不具备充足的理由，这样论证，怎么不会错呢。
例5：
证明． 设有界闭区域R是由两条光滑曲线 与 ， 且
以及直线 X= a与 X= b所围成。若函数f(x，y )在R可积，且
定积分 则累次积分
也存在 ，且

证明 将R包含在闭矩形内P[]，(如图）
有
在闭矩形P上定义新函数

根据定理1(若函数f(x，y )在有界闭区域R有界，间断点只分布在有限条光滑曲线上，则函数在f(x，y)在R上可积),在P可积。根据定理1,有

由新函数的定义，有
有

于是 至此得 ：

此定理关于 的可积性的证明是由定理1 得出的，然而这一定理只是充分条件而非充要条件。尽管 确实是P上的可积函数，但它的可积性却不能由定理1得出。因为，如果要由定理1出证明中定义的 在P上可积，则需有f(x，y )在R有界且其间断点只分布在有限条光滑曲线上。但是我们仅知道f(x，y )在R可积，并不能由此得出f(x，y )在R有界且其间断点只分布在有限条光滑曲线上的结论。这说明在“此题”的证明中把“定理1“当作充要条件使用。从而导致证明中的逻辑错误
2.偷换概念型错误
在做题过程中，往往受一些思维定式的影响而产生错误的判断，比如在学习积分时，有些概念上的理解出现偏差。例如对函数原函数存在性与可积性关系想当然的认为函数有原函数就一定可积。可积的函数就一定存在原函数，这种偷换概念形式的错误还能经常遇到。
例6： 设
其原函数为 但 在[0，1]上为无界函数，因此在[0,1]上并不可积。
例7： 设
则为仅在x=处间断的有界函数，从而在[0,1]上可积，但上不存在原函数，若不然，设在[0,1]=。由导函数介值定理，对实数0（因为-1<0<2）必然存在一点使得 ，这与函数定义由矛盾。
3.运算模糊型错误
不定积分是计算各种积分如定积分、重积分、曲线积分的基础，它对微分方程求解也起着重要的作用。因此，掌握不定积分计算方法显得尤为重要。解决此类问题的办法一般是分析被积函数的特点，针对函数所具有的特点采用相应的积分方法，使复杂的问题简单化。为了提高解题的速度和实现计算结果的正确性，首先是要准确理解不定积分的定义，然后是灵活运用各种基本积分方法，但在解题中也需得注意易忽略和出错的几个问题。以免出现过多的运算模糊错误。
1．注意被积函数的定义区间
例8：

解 ：以倒数置换计算，结果为
=-arcsin 现在，再根据不定积分的定义来检
验这个结果是否正确。
依不定积分定义，若上式成立，则必须在被积函数 的定义区间上
恒有成立。被积函数定义区间为 。

可见在被积分函数定义区间上不恒有成立，当时，不是的原函数
因而 =-arcsin 是错误的，该不定积分为

产生上述错误的原因在以下的方面：
1) 对不定积分定义的理解上忽视了被积函数的定义区间。如果没有特定的条件限制，那么就应该在被积函数有定义的(所有的)区间上讨论其不定积分。而不是的模糊运算。必须认识到，确定存在这样的函数，它在不同的区间上具有不同的不定积分。
例如 ，
当 x0 时 ，
当 x0 时
也就是说这样的函数实际上表示了若干组不同的参数，求解时应分区间进行讨论。分别在每个区间上求出的原函数；再分别加上任意常数(常数间显然是无关的，这才是所求的不定积分)。
2) 在计算不定积分时忽视了关于实数运算的有关定义

正确的解法应为被积函数的定义域为 作置换 则 由此得
=

当t0取正号，由置换 知x 与t同号

2.注意使用第二类换元积分的条件
变换函数x= (t)应是单调可导函数且中 (t)≠0，变换函数x=(t)的值域应正好对应于被积函数的定义域。
例9 求
错解 设x= a Sect，则dx= asecttantdt，于是

上述解法不完全正确的原因就在于其忽略了使用第二类换元积分的条件。
正确解法
设x=asect，因被积函数定义域为a，所以当xa 取 当x- a，取 。这样建立的变量满足第二类换元积分使用条件，则
= =
因此有
当 时，

当时 ，

至此 即：

需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指怎样用初等函数把这个不定积分(或原函数)表示出来，在这种定义下，并不是任何初等函数的不定积分都能求出来的。
4.以偏概全型错误
以偏概全型错误 顾名思义以局部带整体 比如：
1 极限 形式
如下 例10，对任何正数 x，在区间[0， x]上研究函数
由拉格朗日中值定理，总存在相应的 ∈(0，x )，使得
即 或
当 时，也有 ，故上式右端在 时右极限存在且等于0，从而对左端也有=0 但这绝不能由此推出=0，我们都知道是不存在的，而上面得到的结果=0 却是正确的。
这是因为 介于0与 x之间，它与 x有关，但当x 连续变化时， 并不一定是连续变化的，也即是 是以某种特殊方式趋于0的。比如，当 取无限接近于数列{ }的值时，就有=0，但 不是以任意方式趋于0的。因此，由 =0不能推出
一般地，如果已知 介于 x与 a 间，则有但反之不成立。
2 与的形式
记号 表示函数在点 a 的右导数，即极限
而表示函数 的导函数在 x = a 点的右极限，即= 由此可知,还表明函数 在区间(a，a+)( >0)内可导，故 与是两个根本不同的概念。
在一般情况下，与，是不相等的。
例如11， 函数：
当 x≠0时，
而 因此两者不等
但在一定的条件下，成立=
若函数 在[a，a+ ]( >O)上连续，在(a，a+ )内可导，且 ，则函数 在a点右可导且=
证明 在(a，a+ )内任取一点 x，函数 在[a，x ]上满足拉格朗日中值定理，则至少存在一点 ∈(a，x )，使得 即：
当 时，有
== 故=

5.疏漏型错误
1.在求不定积分时
有人是如下这样做的：由分部积分公式可得
=
于是推得0=1
若再用一次分部积分公式又可推得0=2，如此下去，可推得0等于任何自然数。这个结果显然是不对的，错误的关键是在利用分部积分公式 两端的不定积分都各自包含着一个任意常数.
不定积分表示一个函数的原函数全体，是一个集合，所以不能简单地和数一样从等式两边消去。
故由 可求得

这说明 与都是的原函数，Cl、c2不是相互独立的常数，这样就不可能出现0=1=2=n等一系列荒谬的结论。
同理可知，不定积分性质中的等式

要求k是不等于0的常数，否则若k=0，则由上式可得出c=0(为任意常数)的错误结论。
2.幂级数收敛半径的计算
在求形如 的幂级数的收敛半径时，都是利用公式R= 或R=。但是对于缺项的幂级数，例如 等就不能利用上面的公式去求幂级数收敛半径，否则将会出现错误。例如对 若用公式R=
则有R= 收敛区间为(一2，2)但这结果显然不对。因为号∈(一2，2)， 但将 x=代入幂级数 得 是发散的。
所以 对于一般幂级数 ，(其中 为幂函数)，可采用以下方法求收敛半径。利用达朗贝尔(D’Alembert )判别法的极限形式,由
解不等式求得幂级数的收敛半径。

三． 总结：
数学分析的解题过程，就是对知识体系、理论体系及方法体系进行熟悉的过程，错误的解题方法，错误的解题思路也正好说明我们对知识的认识不深刻，领悟不透彻和使用不恰当。敏锐地发现隐匿在错误背后的成因，挖掘错误的价值，这无疑也体现了十分现实的学习价值。学生对自己的思维过程作出修正，那么“错误”也将变成一种宝贵的经验。
经过一个学期的努力 在徐秀娟老师耐心细致的辅导帮助之下，论文终于完成。再此对徐老师表以深深的感谢!

参考文献：
[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991．
[2] 徐利治．数学方法论选讲[M]．武汉：华中工学院出版社，1988．
[3] 刘广云．数学分析方法论一题[J]．数学教育学报，1997，6(2)：85—89．
[4] 张奠宇．数学方法论[M]．上海：上海教育出版社，1996．
[5] 任樟辉．数学思维论[M]．南宁：广西教育出版社
[6] R.Courant and F.John,Introduction to Calculus and Analysis, volⅠ、Ⅱ（有中译本：R.柯朗，F.约翰，微积分和数学分析引论，第一、二卷（共五分册）科学出版社，1979-1989。
[7] W.Rudin,Principles of Mathematical Analysis (有中译本：W.卢丁，数学分析原理，上、下册，人民教育出版社，1980)
[8] 《数学分析简明教程》上、下册，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月第一版，2002年6月第五次印刷，面向21世纪课程教材。
[9] 《数学分析的思想方法》，朱匀华、周健伟、胡建勋编著，中山大学出版社，1998年第一版，2001年8月第2次印刷。
[10] 《数学分析》（面向21世纪课程教材）上、下册，陈纪修、於崇华、金路编著，高等教育出版社，1999年第一版。