高三数学第二轮专题复习系列(7)--直线与圆的方程.doc

高三数学第二轮专题复习系列(7)- 直线与圆的方程 一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。直线【例题】【例1】 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x3y3 = 0上，并且使ABC的面积等于21，求点A的坐标。解：直线BC方程为2x5y22 = 0,|BC| = ，设点A坐标(3y3,y)，则可求A到BC的距离为，ABC面积为21，故点A坐标为（）或（）.【例2】 已知直线l的方程为3x+4y12=0, 求直线l的方程, 使得： (1) l与l平行, 且过点(1,3) ;(2) l与l垂直, 且l与两轴围成的三角形面积为4.解： (1) 由条件, 可设l的方程为 3x+4y+m=0, 以x=1, y=3代入, 得 3+12+m=0, 即得m=9, 直线l的方程为 3x+4y9=0;(2) 由条件, 可设l的方程为4x3y+n=0, 令y=0, 得, 令x=0, 得, 于是由三角形面积, 得n2=96, 直线l的方程是 或【例3】 过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。解：设直线2x3y12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点C，D，设为所求角。，C（2，）.又，D(4,)，.，.【例4】 圆x2y2x6yc = 0与直线x2y3 = 0相交于P,Q两点,求c为何值时,OPOQ(O为原点).解：解方程组消x得5y220y12c = 0,消y得5x210x4c27 = 0,OPOQ,，解得c = 3.【例5】 已知直线y =2xb与圆x2y24x2y15 = 0相切,求b的值和切点的坐标.解：把y =2xb代入x2y24x2y15 = 0,整理得5x24(b2)xb22b15 = 0,令= 0得b =7或b =13,方程有等根，得x =2或x = 6，代入y = 2x7与y = 2x13得y =3或y = 1，所求切点坐标为（2，3）或（6，1）.【例6】 已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abc+2a+b+c.证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中|b|1,|c|1,|x|1,且1b1.f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0线段y=(bc1)x+2bc(1x1)在x轴上方，这就是说，当|a|1,|b|1,|c|1时，恒有abc+2a+b+c.【例7】 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为(90180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(ab).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB取得最大值.由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直线AC、BC的斜率分别为：kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0,则tanACB,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳.【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由A点的坐标为(，)由B点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到xN,yN*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （）用x，y表示混合食物成本c元； （）确定x，y，z的值，使成本最低解：（）由题，又，所以，（）由得，所以，所以，当且仅当时等号成立所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点不难发现，应在点M（50，20）处取得【直线练习1】一、选择题1设M=，则M与N的大小关系为( )A.MN B.M=N C.MN D.无法判断2三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_.4自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_.5函数f()=的最大值为_，最小值为_.6设不等式2x1m(x21)对一切满足|m|2的值均成立，则x的范围为_.三、解答题7已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上.(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.8设数列an的前n项和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0.(1)证明：an是等差数列.(2)证明：以(an,1)为坐标的点Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围.参考答案一、1.解析：将问题转化为比较A(1，1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，kABkAC,即MN.答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则点(x,y）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点.答案：P(5，6）4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y24x4y+7=0关于x轴对称的圆相切.答案：3x+4y3=0或4x+3y+3=05.解析：f()=表示两点(cos,sin)与(2,1)连线的斜率.答案： 06.解析：原不等式变为(x21)m+(12x)0,构造线段f(m)=(x21)m+12x,2m2,则f(2)0,且f(2)0.答案： 三、7.(1)证明：设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x11,x21,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2).由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上.(2)解：由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n2时，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b.因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b.所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列.(2)证明：b0,对于n2,有所有的点Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0.(3)解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是 由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+).【直线练习2】1的方程为，关于轴对称的直线为，关于y轴对称的直线为，那么直线的方程为( B )ABCD2与圆相外切，且与轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。3已知定点A(1,1)，B(3,3)，点P在x轴上，且取得最大值，则P点坐标为（ B ）ABCD解：P点即为过A、B两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为 所以有4圆上的点到直线的最知距离为（ A ）ABCD5条件甲：方程表示一双条双曲线，条件乙：则乙是甲的（ A ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件6设点P在有向线段的延长线上,点P分所成的比为, 则( A )ABCD7如果AC0且BC0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过( C )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8若点(4, m)到直线的距离不大于3, 则m的取值范围是( B )A(0, 10)BCD9原点关于直线的对称点坐标为( D )ABC(3, 4)D(4, 3)10如果直线与直线关于直线y = x对称, 那么( A )ABCa = 3, b = 2Da = 3, b = 611已知直线的夹角的平分线为, 如果l1的方程是,那么l2的方程是( A )ABCD12如果直线 与直线平行, 那么系数a = ( B )A3B6CD13两条直线 垂直的充要条件是( A )ABCD14如果直线l沿x轴负方向平移3个单位, 再沿y轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l的斜率是( A )AB3CD315设a、b、c分别是ABC中, A、B、C所对边的边长, 则直线 与的位置关系是( C )A平行B重合C垂直D相交但不垂直16求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到x轴的距离等于2的点的坐标:。（3, 2）17直线L：y=kx-1与曲线不相交，则k的取值范围是( A ) A或3 B C3 D，318 2如果ac0，bc0，那么直线ax+by+c=0不通过（ C ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限19直线y=x1被圆，所截的弦长为（ C ） A B40 C D 20斜率为1的直线与两直线2x+y1=0，分别相交于A，B两点，线段AB的中点的轨迹方程为（ B ）A、B、C、D、21已知双曲线和椭圆：有公共的焦点，它们的离心率分别是和，且。（1）求双曲线的方程；（2）圆D经过双曲线的两焦点，且与x轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D的方程。解：（1）椭圆的两个焦点坐标是离心率由可知双曲线的离心率故双曲线的方程为（2）圆D经过双曲线的两个焦点，圆心D在直线x= 2上设圆D的方程为整理得：令y=0，得设圆D与x轴的两个交点为（），（），则依题意|=即164（2b22）=64，解得b=5所以圆的方程为高三数学专题复习圆【例题】【例1】 设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y26x+a=0(a9)，、点所在直线l的斜率为 ,求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率。解：由(x3)2+y2=9a(a1 （B）R3 （C）1R3 （D）R2二、填空题8、已知圆交于A、B两点，则AB所在的直线方程是_。9、直线上的点到圆的最近距离是 。10、已知圆的方程是x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为 。11、过P（2，4）及Q（3，1）两点，且在X轴上截得的弦长为6的圆方程是 三、解答题12、半径为5的圆过点A(2, 6)，且以M(5, 4)为中点的弦长为2，求此圆的方程。13、已知圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若。求m的值。14、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，其中为坐标原点，求点的轨迹方程【圆参考答案】一、选择题1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 7、C二、填空题8、2x+y=0 9、 10、 11、(x1)2(y2)2=13或(x3)2(y4)2=25三、解答题12、解：设圆心坐标为P(a, b), 则圆的方程是(xa)2(yb)2=25, (2, 6)在圆上， (a2)2(b6)2=25, 又以M(5, 4)为中点的弦长为2， |PM|2=r22, 即(a5)2(b4)2=20, 联立方程组, 两式相减得7a2b=3, 将b=代入 得 53a2194a141=0, 解得a=1或a=, 相应的求得b1=2, b2=, 圆的方程是(x1)2(y2)225或(x)2(y)22513、解：由题设APB是等腰直角三角形，圆心到y轴的距离是圆半径的倍 将圆方程配方得： 圆心是P(2,1)，半径r= 解得m= 314、解：在AOP中，OQ是AOP的平分线设Q点坐标为（x，y）；P点坐标为（x0，y0） P（x0，y0）在圆x2+y2=1上运动，x02+y02=1即此即Q点的轨迹方程。