高三数学第二轮专题复习系列(7)--直线与圆的方程.doc

高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程
一、重点知识结构
本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；
两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；
用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；
曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；
圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求
1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
3、会用二元一次不等式表示平面区域；
4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；
5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；
6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析
在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议
本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线
【例题】
【例1】 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使ABC的面积等于21，求点A的坐标。
解：直线BC方程为2x＋5y－22 = 0,|BC| = ，设点A坐标(3y－3,y)，则可求A到BC的距离为，∵ABC面积为21，∴，
∴，故点A坐标为（）或（）.
【例2】 已知直线l的方程为3x+4y－12=0, 求直线l′的方程, 使得：
(1) l′与l平行, 且过点(－1,3) ;
(2) l′与l垂直, 且l′与两轴围成的三角形面积为4.
解： (1) 由条件, 可设l′的方程为 3x+4y+m=0, 以x=－1, y=3代入,
得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l′的方程为 3x+4y－9=0;
(2) 由条件, 可设l′的方程为4x－3y+n=0, 令y=0, 得, 令x=0, 得, 于是由三角形面积, 得n2=96, ∴
∴直线l′的方程是 或
【例3】 过原点的两条直线把直线2x＋3y－12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。
解：设直线2x＋3y－12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，
则A（0，4），B（6，0），设分点C，D，设为所求角。
∵，∴，∴C（2，）.
又，∴，∴D(4,)，∴.
∴，∴.
【例4】 圆x2＋y2＋x－6y＋c = 0与直线x＋2y－3 = 0相交于P,Q两点,求c为何值时,OPOQ(O为原点).
解：解方程组消x得5y2－20y＋12＋c = 0,,
消y得5x2＋10x＋4c－27 = 0,,
∵OPOQ,∴,∴，解得c = 3.
【例5】 已知直线y =－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15 = 0相切,求b的值和切点的坐标.
解：把y =－2x＋b代入x2＋y2－4x＋2y－15 = 0,
整理得5x2－4(b＋2)x＋b2＋2b－15 = 0,令= 0得b =－7或b =13,]
∵方程有等根，，得x =－2或x = 6，
代入y = －2x－7与y = －2x＋13得y =－3或y = 1，
∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.

【例6】 已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.
证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.
∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0
f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0
∴线段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.

【例7】 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值.
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、
(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为：
kAC=tanxCA=,

于是tanACB=
由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳.
【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？
解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
为由
∴A点的坐标为(，)
由
∴B点的坐标为(25，)
所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)
由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37.
故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.
【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

甲
乙
丙
维生素A（单位/千克）
600
700
400
维生素B（单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．

解：（Ⅰ）由题，，又，所以，．
（Ⅱ）由得，，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．

【直线练习1】
一、选择题
1．设M=，则M与N的大小关系为( )
A.M＞N B.M=N C.M＜N D.无法判断
2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )
A.15 B.30 C.36 D.以上都不对
二、填空题
3．直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________.
4．自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.
5．函数f(θ)=的最大值为_________，最小值为_________.
6．设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________.
三、解答题
7．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上.
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
8．设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.
(1)证明：{an}是等差数列.
(2)证明：以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.
(3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围.
参考答案
一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N.
答案：A
2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则

点(x,y）应在如右图所示区域内
当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；
当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;
当x=5时，y=7,8,9,10,11.
以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.
答案：C
二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.
答案：P(5，6）
4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.
答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0
5.解析：f(θ)=表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.
答案： 0
6.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.
答案：
三、7.(1)证明：设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1,
点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).
因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2).
由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则

由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上.
(2)解：由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1
∴x2=x13
将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).
9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n≥2时，
有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.
因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.
所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列.
(2)证明：∵b≠0,对于n≥2,有
∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0.
(3)解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是
①
②
③

由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜－或r＞+
由不等式③，得r＜4－或r＞4+
再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+
故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).

【直线练习2】
1．的方程为，关于轴对称的直线为，关于y轴对称的直线为，那么直线的方程为( B )
A． B． C． D．
2．与圆相外切，且与轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是 。
3．已知定点A(1,1)，B(3,3)，点P在x轴上，且取得最大值，则P点坐标为（ B ）
A． B． C． D．
解：P点即为过A、B两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为

所以有
4．圆上的点到直线的最知距离为（ A ）
A． B． C． D．
5．条件甲：方程表示一双条双曲线，条件乙：则乙是甲的（ A ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
6．设点P在有向线段的延长线上,点P分所成的比为, 则( A )
A． B．
C． D．
7．如果AC<0且BC<0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过( C )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若点(4, m)到直线的距离不大于3, 则m的取值范围是( B )
A．(0, 10) B． C． D．
9．原点关于直线的对称点坐标为( D )
A． B． C．(3, 4) D．(4, 3)
10．如果直线与直线关于直线y = x对称, 那么( A )
A． B．
C．a = 3, b = －2 D．a = 3, b = 6
11．已知直线的夹角的平分线为, 如果l1的方程是,那么l2
的方程是( A )
A． B．
C． D．
12．如果直线 与直线平行, 那么系数a = ( B )
A．－3 B．－6 C． D．
13．两条直线 垂直的充要条件是( A )
A． B．
C． D．
14．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位, 再沿y轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l的斜率是( A )
A． B．－3 C． D．3
15．设a、b、c分别是△ABC中, Ð A、ÐB、ÐC所对边的边长, 则直线
与的位置关系是( C )
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
16．求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到x轴的距离等于2的点的坐标: 。（3, 2）
17．直线L：y=kx-1与曲线不相交，则k的取值范围是( A )
A．或3 B． C．3 D．[，3]
18． 2．如果a·c<0，b·c<0，那么直线ax+by+c=0不通过（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．直线y=－x－1被圆，所截的弦长为（ C ）
A． B．40 C． D．
20．斜率为1的直线与两直线2x+y－1=0，分别相交于A，B两点，线段AB的
中点的轨迹方程为（ B ）
A、 B、
C、 D、
21．已知双曲线和椭圆：有公共的焦点，它们的离心率分别是 和，且。（1）求双曲线的方程；（2）圆D经过双曲线的两焦点，且 与x轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D的方程。
解：（1）椭圆的两个焦点坐标是离心率
由可知双曲线的离心率
∴
故双曲线的方程为
（2）∵圆D经过双曲线的两个焦点，∴圆心D在直线x= –2上
设圆D的方程为
整理得：
令y=0，得
设圆D与x轴的两个交点为（），（），则

依题意||=
即16–4（2b–22）=64，解得b=5
所以圆的方程为
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圆
【例题】
【例1】 设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2–6x+a=0(a<9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l的斜率为 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率。
解：由(x–3)2+y2=9－a(a<9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）
依题意：
MA,MB的斜率k满足:
解得:kAC=
【例2】 设圆的方程为，直线的方程为．
（1）求关于对称的圆的方程；
（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．
解：（1）圆C1的圆心为C1（－2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b）
则　　解得：
∴圆C2的方程为
（2）由消去m得a－2b+1=0
即圆C2的圆心在定直线x－2y+1=0上。
设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则

即
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：　　解之得：
所以所表示的一系列圆的公切线方程为：
【例3】 已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。
解：圆C化成标准方程为
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥l，∴kCM×kl= －1
∴kCM=，
即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线l的方程为y－b=x－a，
即x－y+b－a=0
CM=
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
，
∴　　②
把①代入②得　，∴
当此时直线l的方程为x－y－4=0；
当此时直线l的方程为x－y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0
【例4】 已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共
点时，求m的取值范围.
解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1 = 0,
作OP垂直AB于点P，连结OB.
由图象得：|m|＜OP或|m|＞OB时，线段AB与圆x2＋y2 = m2无交点.
（I）当|m|＜OP时，由点到直线的距离公式得：
，即.
（II）当＞OB时,
,
即 .
∴当和时，
圆x2＋y2 = m2与线段AB无交点.
【例5】 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

解：（1）连接MB，MQ，设
由，
可得
由射影定理，得
在Rt△MOQ中，
，
故，所以直线AB方程是

（2）由点M，P，Q在一直线上，
得
由射影定理得
即
把（*）代入（**）消去a，
并注意到，可得

【例6】 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得
商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地相距10km，居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（－5，0），B（5，0）.
设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品的费用较低，并设A地的运费为3a元/km，则B地运费为a元/km.
由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费 ，
即，整理得.
所以，以点C为圆心，为半径的圆就是两地居民购货的分界线.
圆内的居民从A地购货费用较低；
圆外的居民从B地购货费用较低；
圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A、B两地之一购货.
【例7】 例8、在平面上有一系列点对每个自然数 Pn
Pn+1

,点位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切．若,且 ．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙的面积为，,求证：
解：（1）依题意，⊙的半径，⊙与⊙彼此外切，
, ,
两边平方，化简得, 即.
， , ．
∴ 数列是等差数列．
(2) 由题设，，∴,
,

＝
＝ ．
【例8】 已知圆：和圆：,现在构造一系列的圆,使圆同时与和圆都相切,并都与OX轴相切.回答：
(1)求圆的半径;
(2)证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为;
(3)求和.
解：(1)在直角梯形中,
AC=1－,=1＋,=1＋,=＋.=－.
∴有 ，
，=
∴
∴.即.
由此可得.
∴{}成等差数列, .
∴,∴.

(2)公切线长为.
(3) ＝.
∴=2.

【圆·练习】
一、选择题
1、直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是 （ ）.
(A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心
(C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心
2、点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
3、直线截圆所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的确良三角形一定是 （ ）
（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）钝角三角形 （D）不存在
4、已知两点A(–2,0),B(0,2), 点C是圆x2+y2–2x=0上的任意一点,则△ABC面积的最小值是（ ）
(A) (B) (C) (D)
5、已知集合及，则实数b的取值范围是 （ ）
（Ａ）[–5,5] （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
6、若曲线x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
7、若圆上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是 （ ）．
（A）R>1 （B）R<3 （C）1<R<3 （D）R≠2
二、填空题
8、已知圆交于A、B两点，则AB所在的直线方程是_______________________。
9、直线上的点到圆的最近距离是 。
10、已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为 。
11、过P（－2，4）及Q（3，－1）两点，且在X轴上截得的弦长为6的圆方程是

三、解答题
12、半径为5的圆过点A(－2, 6)，且以M(5, 4)为中点的弦长为2，求此圆的方程。
13、已知圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若。
求m的值。
14、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，其中为坐标原点，求点的轨迹方程．

【圆参考答案】
一、选择题
1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 7、C
二、填空题
8、2x+y=0 9、 10、
11、(x－1)2＋(y－2)2=13或(x－3)2＋(y－4)2=25
三、解答题
12、解：设圆心坐标为P(a, b), 则圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=25,
∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a＋2)2＋(b－6)2=25, 又以M(5, 4)为中点的弦长为2，
∴ |PM|2=r2－2, 即(a－5)2＋(b－4)2=20,
联立方程组, 两式相减得7a－2b=3, 将b=代入
得 53a2－194a＋141=0, 解得a=1或a=, 相应的求得b1=2, b2=,
∴ 圆的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝25或(x－)2＋(y－)2＝25

13、解：由题设△APB是等腰直角三角形，∴圆心到y轴的距离是圆半径的倍
将圆方程配方得：
圆心是P(2,－1)，半径r=
∴ 解得m= －3

14、解：在△AOP中，∵OQ是ÐAOP的平分线
　　　　∴
　　设Q点坐标为（x，y）；P点坐标为（x0，y0）
　　∴
　　∵ P（x0，y0）在圆x2+y2=1上运动，∴x02+y02=1
　　即　　∴
　　此即Q点的轨迹方程。