2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法.doc

高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解： ，. 由条件，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.CByxOA例2 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.三、代入法yQOxNP当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.在直线上， 又得即.联解得.又点在双曲线上，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.xA1A2OyNMP例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设及，又，可得直线的方程为；直线的方程为.得. 又，代入得，化简得，此即点的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1（ ）已知、是定点，动点满足，则动点的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2（ ）设，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）3与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是 ；5已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 6ABC的顶点为、，ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是 ；（）变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是 ；7已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是 8抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 （）9过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为 解法分析：解法1 当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为与抛物线方程联立，消去得设，中点为，则有消得 当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为解法2设，由得，设中点为，当时，有，又，所以，即当时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为10过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_（二）解答题1一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程（定义法）2过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程3已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹（交轨法）4已知点G是ABC的重心，在轴上有一点M，满足，（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围解：（1）设，则由重心坐标公式可得 ，点在轴上， ，即 故点的轨迹方程为（）（直接法）（2）设直线的方程为（），、，的中点为由消，得 ，即 又， ， ， ，即 ， ，又由式可得 ， 且 且，解得且故的取值范围是且5已知平面上两定点、，为一动点，满足（）求动点的轨迹的方程；（直接法）（）若A、B是轨迹上的两动点，且过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值解：()设由已知，,，3分， 整理，得 即动点的轨迹为抛物线，其方程为6已知O为坐标原点，点、，动点、满足（），求点M的轨迹W的方程 解：， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， ， ， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为（）7设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量， 且（1）求点的轨迹的方程；（定义法）（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由解：（1）；（2）因为过轴上的点若直线是轴，则两点是椭圆的顶点，所以与 重合，与四边形是矩形矛盾故直线的斜率存在，设方程为，由 消得此时恒成立，且，所以四边形是平行四边形若存在直线，使得四边形是矩形，则，即， 即 ，得故存在直线：，使得四边形是矩形8如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（II）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时，求直线的斜率的取值范围解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则， ， ，即所求点的轨迹方程为（2）设点设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为 由6分 7分 8分 10分由于11分 解得13分直线斜率k的取值范围是9如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围解：（1）设，由得，又，即动点的轨迹方程为10已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，（1）求点轨迹的方程；（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围解：（1）设、，则、由题意得 ，故动点的轨迹方程为11如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程解：（1）由已知得， （2）设P点坐标为（），由得 ， 消去，可得，又因， P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支（3） 设直线l的方程为，将其代入C的方程得 即 ，易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意） 又，设，则 l与C的两个交点在轴的右侧 ， ，即，又由同理可得 ， 由得 ， 由得， 由得，消去得 解之得： ，满足故所求直线l存在，其方程为：或12设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C（I） 求轨迹C的方程；（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围解：（I）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设， 又， 即曲线C的方程为 （II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16) 故， M、N在曲线C上， 消去s得 由题意知，且，解得 又 ， 解得 （） 故实数的取值范围是（）13设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线（）提示：，又，则，又 ，代入距离公式即可（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由（不存在）14已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且 （1）求动点P的轨迹方程；15如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程（）16双曲线C：（，）的离心率为2，其中，且（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围解：（I）依题意有：解得：所求双曲线的方程为6分（）当k=0时，显然不存在7分当k0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称由lMN，直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组由 消去y得9分显然，即 设线段MN中点D（）则D（）在直线l上，即 把带入中得 ，解得或或即或，且k0k的取值范围是14分17已知向量=(2，0)，=(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并且满足=K(-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.（）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足e，求实数K的取值范围.18过抛物线的焦点作两条弦、，若，（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线19（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；（2）若为动点，且，求的重心的轨迹思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设，直线的斜率为（），则直线的斜率为，方程为由，消得，解得， ，(定值)所以直线的斜率为定值法二：设定点，、，由 得 ，即；同理 ， ，即， 所以，（定值）第一问的变式：过点作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线EF的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x, y），则有消去参数得20如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为，折痕与交于点，点满足关系式（1）建立适当的直角坐标系，求点的轨迹方程；（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围第 16 页 共 16 页