初中数学解题-公式.doc

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初中数学竞赛辅导资料—-公式

编辑：沈宇喆

甲内容提要
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用(因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：（a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b）(a2ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理:（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b）4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5)
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）（a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
（a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4）=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
（a+b）(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b）(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）（an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1）=an－bn　
4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=（a+b）2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b）

由公式的推广③可知：当n为正整数时
an－bn能被a－b整除, 　　　　
a2n+1+b2n+1能被a+b整除，
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

乙例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求　①x2+y2 　②x3+y3 　　③x4+y4 　 ④x5+y5
解：　①x2+y2＝（x+y）2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝（x+y）4－4xy（x2+y2)－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x5+y5＝（x+y）（x4－x3y+x2y2－xy3+y4）
　=（x+y）［x4+y4－xy(x2+y2）+x2y2］
　　　　 　=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］
　　　　　　＝a5－5a3b+5ab2
例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明:设这四个数分别为a， a+1， a+2， a+3　(a为整数）
a（a+1）(a+2)（a+3）+1=a（a+3）(a+1)(a+2)+1=(a2+3a）(a2+3a+2)+1
=(a2+3a）2+2(a2+3a)+1=（a2+3a+1）2
∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a2+3a+1是整数　　　证毕
例3. 求证:2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据　a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4)
　∴4111＋3111能被　4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数"的计算规律 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数"的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积.
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2), 252=625 (6=2×3），
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5）
……

丙练习15
1． 填空：
①a2+b2=(a+b）2－_____ ②（a+b)2=(a－b）2+___
③a3+b3=（a+b）3－3ab(___) 　④a4+b4=（a2+b2)2－____
,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4）－_____ 　⑥a5+b5=（a2+b2)（a3+b3)－____
2． 填空：
①（x+y）(___________)=x4－y4 　 ②（x－y)(__________)=x4－y4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 　　④（x－y）(__________)=x5－y5　
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5.。已知x+=3， 求①x2+ ②x3+ ③x4+的值

6.化简：①（a+b）2(a－b）2
②(a+b)（a2－ab+b2)
　③（a－b）（（a+b)3－2ab(a2－b2)
④(a+b+c）（a+b－c）（a－b+c)(－a+b+c）
7。己知a+b=1,　求证：a3+b3－3ab=1
8。己知a2=a+1,求代数式a5－5a+2的值
9。求证:233＋1能被9整除
10。求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数
的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上,它们
的直径分别是a，b，c
① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长
② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差.

练习15
4.　十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积
8. n（n+1）+(n+1）=(n+1）2
9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长,其差等于0
②（ab+ac+bc）

初中数学竞赛辅导资料-—二元一次方程的整数解
甲内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a，b的最大公约数能整除c，则方程有整数解。即
如果(a，b）｜c 则方程ax+by=c有整数解
显然a，b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，
∵（9,3)＝3,而3不能整除10；（4,2)＝2，而2不能整除1.
一般我们在正整数集合里研究公约数,（a，b）中的a，b实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一,整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x== （1) ,
设是整数），则y=1—5k (2） ,　　
把（2)代入（1）得x=k-2（1-5k）=11k-2
∴原方程所有的整数解是（k是整数)
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解则通解是（x0，y0可用观察法)
3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解,再解x，y的不等式组，确定k值
② 用观察法直接写出.
乙例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
解x=
设（k为整数），y=3－5k，　代入得x=9－9k
∴原方程整数解是　（k为整数)
又解：当x=o时，y=－2，
∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）
　　从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的.
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=（1）,
设（k为整数)，则y=5k,（2）
把（2）代入（1)得x=20-6k,
∵　解不等式组
得0＜k〈,k的整数解是1，2,3,
∴正整数解是
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38　（x,y都是正整数)
∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解
∴通解是（k为整数）
解不等式组得解集是　　∴整数k=0，1,2
把k=0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
丙练习10
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4， 5x—11y=3
②整除法：3x+10y=1， 11x+3y=4
2,　求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答:＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x＋2y=11， ②10x—5y=70, ③9x+3y=111，
④18x—9y=98, ⑤91x-13y=169， ⑥120x+121y=324.
6, 　一张试巻有20道选择题，选对每题得5分,选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分,他最多得几分?
7．　用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:
y=
1
4
－2

x=

练习10
1. 公式法①由特解得通解（k为整数)
　　　　　②由特解得通解(为k整数）
整除法①∵x==-3y，……∴通解是(k为整数）
②通解是（k为整数）
2。 ① ②　－……
3.　有6种截法
4。　16，13　　　5.　A,D。 　　 6。　12　　　7。（略）

初中数学竞赛辅导资料-—二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种:
① 当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
② 当时，方程组无解。(∵两个方程是矛盾的）
③ 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
　　　（这个解可用加减消元法求得）　　
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
乙例题　
例1.　选择一组a,c值使方程组
① 有无数多解,　②无解,　③有唯一的解
解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10，　c=14。
② 当　5∶a＝1∶2≠7∶c时,方程组无解。　
解得a=10,　c≠14。
③当　5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解.
例2。　a取什么值时，方程组 的解是正数?
解：把a作为已知数，解这个方程组
得　　∵　∴
解不等式组得　　解集是6
答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数.
例3。　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数?
解：把m作为已知数，解方程组得
∵x是整数,∴m－8取8的约数±1，±2,±4，±8.
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1,±2。
　取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。
解得　m=9，7，10，6。
　经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃,李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x,　y,　z粒，依题意得

由(1)得x= 100－y－z （3）

把（3）代入（2)，整理得
y=－200+3z－
设（k为整数）　得z=7k， y=－200+20k， x=300－27k
∵x,y,z都是正整数∴解得（k是整数）
∴10＜k<,　　∵k是整数，　∴k=11
即x=3(桃)，　y=20（李)，　z=77（榄橄)　　（答略)

丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①　　　②　　③
2． a取什么值时方程组的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
4． 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值?
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买,可各买多少？

练习11
1. ①无数多个解　②无解　③唯一的解
2. a>1 3。 a=1 4。 –5,—3，—1，1
5.

初中数学竞赛辅导资料-—经验归纳法

甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论,它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 )3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……,
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个(9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103),
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1　(个)
③ 由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2.　经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验.
由于观察产生的片面性，所猜想的结论,有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)

乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解:两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点,得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）,
这里n≥2，其和可表示为[1+（n+1）]×，　即个交点。

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
　5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1)！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n＝3,　（n＋1）!＝1×2＝2
当n ＝2时，3n＝9，　(n＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时,3n＝27，　（n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n＝81,　(n＋1)！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n＝243，　（n＋1）！＝6！＝720　　……
　猜想其结论是:当n＝1,2，3时，3n＞（n＋1）！,当n〉3时3n＜（n＋1）!。
例3　求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
　分析:这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
　解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1，x2=2，x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1，x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2，x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2，x6=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1， 　x 2002=2,　x2003=2003。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个,二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数可记作10a1＋a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝(＿＿＿）2 ，13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①＝（＿＿＿）2；；－＝（　＿＿）2。
②＝（＿＿＿＿）2；＝(＿＿＿)2

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算＋＋＋…＋＝
　(提示把每个分数写成两个分数的差）

7．a是正整数，试比较aa+1和（a+1）a的大小。
8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个,一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分，长n等分（m,n都是大于1的自然数）那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个,四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中,三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个.
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m，n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中,三面涂色的有＿＿＿个,两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块,其中不带皮的有＿＿块.
11．已知两个正整数的积等于11112222,它们分别是＿＿＿,＿＿＿。

练习　14
1. 3，30，3×102，3×10n-1
2. 10n-1a1+10n—2a2_＋……+10an-1+an

4. ①333332， 　　　②，　
5.①192位，②901位(50个18，加上1)
6.　∵＝－　……　
7. a=1，2时，aa+1<（a+1)a ……
10. 4，14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2）（n-2)
11. 8，24,24，8；　
8，4×［（m－2）＋(n-2）+(p-2)],2［（m-2）（n—2)+(m-2)]（p-2）+(n—2）(p—2)］,
(m—2）（n-2）（p—2)
10. 64，8 11. 3334

初中数学竞赛辅导资料——用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作｛6的正约数}＝｛1,2，3，6｝，它有4个元素1，2,3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7,10……｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1,2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2,5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1,2｝,集合C是集合A和集合B的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分,是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式(2)的解集x＞2的交集，x〉3。
如数轴所示：

　　　　　　0　　　　　　　2　　　　3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解（即解的集合)分别求出来，它们的公共部分（即交集)就是所求的答案。
　有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
乙例题
例1。一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合A＝｛2,5,8，11，14,17，20,23,26，……｝
　　除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝
　　除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16,23,30，……｝
集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解:　二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝;
其中差等于6的有:1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17；　43，37；　53，47;　73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人?
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）.
∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；
只订B刊物的人数是21－6＝15人；
小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
设N,N（A)，N(B），N（AB），
分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得
［公式一］N＝+ N（A）+N(B）－N(AB).
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：有多少人①只会打乒乓球　②同时会打篮球和排球　③只会打排球？
解：仿公式一,得［公式二］：
N＝+ N（A）+N（B）+N(C）－N（AB）－N（AC）－N（BC）+N(ABC）
①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）
②求N（BC）可用公式二：
∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC)＋1
∴N（BC）＝3，　即同时会打篮球和排球的是3人
③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数能被33整除,求x和y的值
解:∵0≤x,y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y〉x－y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5，8,11,14,17
（1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数，　故x－y=－4,7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：

解得
(x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2

丙练习12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
3． 12的正约数集合A＝｛　　　　｝,30的正约数集合B＝｛　　　}
12和30的公约数集合C＝{　　　｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上:
①　　②③　　　　④
5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2,求某数的最小值。
6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复)，甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少？
7． 求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？
10.　数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计，数学24人,物理18人，化学10人;按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数,只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
11.　
12。　十进制中，六位数能被21整除,求x,y的值(仿例5）
练习12
1. 负分数　2。等腰，直角　3。交集　　
4 ①x〉5, ② x〈—2, ③-3<x〈1, ④空集　　　5.　16　　6。　7
7.　30，60，90,15,75,66(从个位数为0，15，6中找）
8。　11人，6人　　　9。由　100＝＋52＋60－36得＝24
10.　30人,7人；　32人，9人　　　11.
12。　（仿例5）

初中数学竞赛辅导资料——用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏;
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
乙例题　　　　　　　　　　　　　　　1　
例1　如图由西向东走，
从A处到B处有几
种走法？
　　　　　　　　　　1 　
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如　从A到C有三种走法，在C处标上3,　从A到M(N）有3＋1＝4种，　从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法)
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1)的所有四次单项式。
解法一：按X4，X3,X2，X,以及不含X的项的顺序列出（如左)
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
　X4 ， X 4 , Y4 ， Z4
　X3Y,　X3Z, X3Y ， Y3Z , Z3X
　X2Y2， X2Z2， X2YZ, X3Z ， Y3X， Z3Y
XY3， XZ3, XY2Z, XYZ2， X2Y2， Y2Z2 , Z2X2
Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX, Z2XY
解法三:还可按3个字母,2个字母,1个字母的顺序轮换写出（略)
例3 讨论不等式ax<b的解集.
解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集
b
正
负
零
a
正

负

零

当a〉0时,解集是x〈， 当a〈0时，解集是x>,
当a=0，b〉0时,解集是所有学过的数，
当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)
例4　如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位,则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位,顶点在上的△有：1+2+3+4=10　
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1　　
合计共27个

丙练习13
1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37，适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.

A B C D E F
5.　写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8。　把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形,试用枚举法,计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？
9。　右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从
A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法? 　
10.　列表讨论不等式ax>b的解集.
11.　一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数,
则这个正整数的最小值是＿＿

练习13
1。　8组　　2。　18组　　3.　9组　　4.　15条　　5.　10个
6.　22个（从13,17，…97）　
7。　25种
8。　1＋22＋32＋42＝30个，　55个,　385个
9.　70种
10. 当a〉0时，x<; 当a<0时，x〉；
当a=0,b≥0时，无解；当a=0，b〈0时,有无数多个解。
11. 27

初中数学竞赛辅导资料——整数的一种分类

甲内容提要
1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，
r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数.
即：在整数集合中　　被除数＝除数×商＋余数 （0≤余数〈除数）
例如：13，0,－1,－9除以5的余数分别是3，0,4，1　
（∵－1＝5（－1)＋4。　　－9＝5(－2)＋1。)
2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。
3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数,分为m类，称为按模m分类。例如：
m=2时,分为偶数、奇数两类,记作｛2k},｛2k－1｝　（k为整数）
m=3时，分为三类，记作{3k｝，｛3k+1｝，｛3k+2｝。
或｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k－1｝其中{3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类,｛5k｝。｛5k+1｝，｛5k+2｝，｛5k+3｝，｛5k+4｝
或{5k｝,{5k±1}，{5k±2｝，　　其中5k－2表示除以5余3。
4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：
①（3k1+1)+(3k2+1）=3（k1+k2）+2 　　(余数1＋1＝2）
②（4k1+1)（4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2）+3　　(余数1×3＝3)
③(5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4　　(余数22＝4）
以上等式可叙述为:
① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2.　
② 两个整数除以4，分别余1和3,则它们的积除以4必余3.
③ 如果整数除以5，余数是2或3,那么它的平方数除以5，余数必是
4或9.
余数的乘方，包括一切正整数次幂.
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64)
5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m.

乙例题
例1. 今天是星期日，99天后是星期几?
分析:一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数
解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，
29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同,
∴99天后是星期一。
又解：设{A｝表示A除以7的余数,
｛99}＝｛(7＋2）9}＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1
例2. 设n为正整数,求43 n+1 除以9的余数。
分析:设法把幂的底数化为9k＋r形式
解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n
∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1
∴43 n+1 除以9的余数是4。
例3。 求证三个连续整数的立方和是9的倍数
解：设三个连续整数为n－1,n，n+1
M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n（n2+2）
把整数n按模3,分为三类讨论.
当n=3k （k为整数，下同）时,M＝3×3k［（3k)2+2］=9k（9k2+2)
当n=3k+1时，　M＝3（3k+1）［（3k+1)2+2］＝3（3k+1)(9k2+6k+3)
=9（3k+1）（3k2+2k+1）
当n=3k+2时，　M＝3（3k+2）［（3k+2)2+2］＝3(3k+2）(9k2+1