高三数学专题解三角形.doc

高考精品试题
高三数学专题 解三角形
1．解三角形中的要素
例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．
2．恒等式背景
例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，
且有．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求，．
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，三边长，，，则等于（ ）
A．19 B． C．18 D．
3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，
则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，
则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；
14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．
15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________
16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，则面积的取值范围是__________．
三、解答题
17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
18．如图，在中，点在边上，，，．
．
（1）求的面积．
（2）若，求的长．
答案
1．解三角形中的要素
例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．
【答案】
【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，
代入可解得：．由可得：，所以．
2．恒等式背景
例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，
且有．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求，．
【答案】（1）；（2）2，2．
【解析】（1）

，
即
∴或（舍），∴；
（2），
，
∴，可解得．
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，
且，
由余弦定理可得：．故选A．
2．在中，三边长，，，则等于（ ）
A．19 B． C．18 D．
【答案】B
【解析】∵三边长，，，
∴，
．故选B．
3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】∵，由正弦定理，，∴，
∵，，为的内角，∴，，，
∴，，整理得，
∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，
∴由余弦定理，可得：，
解得：，，∴．故选A．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理由得：，
所以，即，
则，
又，所以．故选A．
6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，化为，
所以，又因为，所以，
由正弦定理可得，所以，故选A．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，
则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为，所以，
也就是，所以，从而，
故，为等边三角形．故选C．
8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：
，即，
∵，，为三角形的内角，∴，即，
则为直角三角形，故选B．
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，∴，解方程组得，，
由余弦定理得，所以．故选A．
10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
∵，可得：，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案为C．
11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】∵，由正弦定理得：，，代入，
得，∴进而可得，
∴，则是等边三角形．故选D．
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
所以，
所以．由同角三角函数得，
由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．
二、填空题
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；
【答案】
【解析】在中，由角的余弦定理可知
，
又因为，所以．当且仅当，时等号成立．
14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】∵的三边，，成等比数列，
∴，得，
又∵，∴，，
可得，故答案为．
15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________
【答案】
【解析】∵，
∴，
则，结合正弦定理得，即，
由余弦定理得，化简得，
故，，故答案为．
16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，
则面积的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵中，，成等差数列，∴．
由正弦定理得，∴，，
∴

，
∵为锐角三角形，∴，解得．
∴，∴，
∴，故面积的取值范围是．
三、解答题
17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，，
∵，∴，即．
∵∴，∴，∴．
（2）由可得．∴，
∵，∴由余弦定理得：，
∴．
18．如图，在中，点在边上，，，．
．
（1）求的面积．
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，
在中，由余弦定理可得
即或（舍），
∴的面积．
（2）在中，由正弦定理得，
代入得，由为锐角，故，
所以，
在中，由正弦定理得，
∴，解得．