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2018黄浦区高考数学一模试卷
2018黄浦区高考数学一模试卷

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牛人数学助力高考数学冲刺满分
上海市黄浦区2018届高三一模数学试卷
2018.01

一. 填空题（本大题共12题,1—6每题4分,7—12每题5分,共54分）
1。 已知全集，集合，，则
2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合,若角的终边落在第三象限内，
且，则
3. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的单调递增区间是
4。 若是等差数列（):的前项和,则
5. 某圆锥体的底面圆的半径长为,其侧面展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥体
的体积是
6. 过点作圆的切线，则该切线的点法向式方程是
7. 已知二项式展开式，且复数,则
复数的模 (其中是虚数单位）
8. 若关于、的二元一次线性方程组的增广矩阵是,
且是该线性方程组的解，则三阶行列式中第3行第2列元素的代数
余子式的值是
9。 某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人、女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人,若要求主持人中至少有一位是男同学,则不同选取方法的种数是 （结果用数值表示）
10. 已知的三个内角、、所对边长分别为、、，记的面积为，
若，则内角 （结果用反三角函数值表示）
11. 已知函数，关于的方程有7个不同实数根，
则实数、满足的关系式是
12。 已知正六边形（顶点的字母依次按逆时针顺序确定）的边长为1，点是内（含边界）的动点,设()，则的取值范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知、是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“∥"的（ ）
A. 充分非必要条件 B。 必要非充分条件　
C. 充要条件 D。 非充分非必要条件
14。 为了得到函数（）的图像，可以将函数的图像
( )
A。 向右平移个单位 B。 向左平移个单位
C。 向右平移个单位 D。 向左平移个单位
15. 用数学归纳法证明（)时，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A. B. C。 D。
16。 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的反函数是（ )
A. B。 C. D.

三。 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17. 已知正方体的棱长为2，点、分别是所在棱、的中点，点是面的中心,如图所示.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小。
（结果用反三角函数值表示）

18. 已知函数，，。
（1）若，求的数值；
(2）若，求函数的值域.

19。 已知椭圆(）的右焦点为，点满足.
（1）求实数、的值;
（2）过点作直线交椭圆于、两点,若与的面积之比为2，求直线的方程。

20。 定义:若函数的定义域为，且存在实数和非零实数 （、都是常数),使得对都成立，则称函数是具有“理想数对”的函数，比如，函数有理想数对,即，，可知函数图像关于点成中心对称图形，设集合是具有理想数对的函数的全体。
(1）已知,，试判断函数是否为集合的元素,并说明理由；
（2）已知函数，,证明:；
（3）数对和都是函数的理想数对，且当时，,若正比例函数（）的图像与函数的图像在区间上有且仅有5个交点,求实数的取值范围.

21。 定义运算“”：对于任意， （）（等式的右边是通常的加减乘运算）,若数列的前项和为，且对任意都成立.
（1）求的值，并推导出用表示的解析式；
（2）若，令(），证明数列是等差数列；
（3）若，令（)，数列满足（），求正实数的
取值范围.

参考答案

一。 填空题
1。 2. 3. 4. 5.
6。 7. 8。 9.
10。 11。 （或） 12.

二. 选择题
13. B 14. D 15。 D 16。 C

三。 解答题
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解　（1） 联结,依据题意可知，
三棱锥的高与的长相等
因为，是棱的中点，故
所以，。
（2） 联结,又是棱的中点,。
故. 于是，就是异面直线与所成的角（或补角).
可求得，。
所以,异面直线与所成的角的大小是.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解 （1）， ∴ ．
∴ .
(2) 依据题意,可知
于是，。 又，可得,.
因此，。 所以函数的值域是。
19． (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解 （1） 椭圆的右焦点为，点满足，
则，解得。
由公式，得，所以
(2) 因为直线过焦点，故直线与椭圆总交于两点.
结合图形，可知，的高相同，且,
即，则.
设，可得，
解得 由解得
求得直线的斜率. 所以，所求直线的方程为.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解 （1）依据题意，知，若,即.
化简得,此等式对都成立，则解得
于是,函数有理想数对. 所以，函数。
证明(2） 用反证法证明。
假设，则存在实数对使得成立.
又，于是，，即。
一方面，此等式对都成立;另一方面,该等式左边是正的常数,右边是随变化而变化的实数. 这是矛盾！故假设不成立。
因此，函数不存在理想数对，即。
解(3) 数对都是函数的理想数对，
。

函数是以4为周期的周期函数。
由，可知函数的图像关于点成中心对称图形。 又时，。
， 则.
先画出函数在上的图像，再根据周期性，可得到函数的图像如下：

；。
由有且仅有一个交点，解得
。
由有且仅有一个交点，解得
。
函数的图像与函数的图像在区间上有且仅有5个交点时，
实数的取值范围是.
21．(本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分．
解 (1） ,
，，。
　　　令，得，
　　　∴．
当时，有．
∴．
∴．
证明 （2） ,，，
　　　　　∴，．
　　　　　∴．
　　　　　∴数列是以首项为、公差为的等差数列．
解 (3) 结合（1),且,，，
　　　∴，即．
.
　当时，，此时，,总是满足；
　当时，,此时，是等比数列．
　　　∴．
　　　∴ ．
　若时，数列是单调递增数列，且时,，
不满足
　若时，,数列是单调递减数列，故 .
又，同样恒有成立；
　若时，，数列是单调递增数列,.
由,即此时当时，满足.
综上，所求实数的取值范围是.