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高等数学强化讲义
一 函数 极限 连续
§1 函数
一 函数的基本概念
是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个，都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数,记作。
二 函数的基本性态
1 奇偶性
(1) 定义：偶;奇 。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.
（3） 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中

2 有界性
（1) 定义：， ，有 .
(2) 无界：， ，有 .
（3） 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷；
无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
（4） 常见有界的判定：设在连续, 则在有界.
设在连续， 且存在， 则在有界。

3 周期性
(1） 定义：
(2） 导函数:导函数还是周期函数并且周期相同
注：周期函数的原函数不一定为周期函数。

4 单调性
(1） 定义：递增（递减） 当时,均有
（2） 导函数:单增（减)；单增(减).
题型一 无界与无穷的判定
例1 设
（A） 偶函数 （B)有界函数
（C） 周期函数 （D）单调函数。

例2 当时，变量是（ ）
（A）无穷小 （B）无穷大
（C）有界的,但不是无穷小量 （D）无界的，但不是无穷大

题型二 函数性态的判定
例3 设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ）
(A） (B)
（C） （D)根据上面条件无法判断

例4 设函数具有二阶导数,并满足且若 则（ )
（A） (B)
（C) (D)

练习：设在内可导，且对任意，当时，都有
，则( ）
（A） 对任意 （B）对任意
（C）函数单调增加 （D）函数单调增加 。

例5 设函数在下列哪个区间内有界（ ）
A (—1，0) B （0,1) C （1，2） D (2，3)

三 各种其他的函数
1分段函数:函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达
2 复合函数：与复合而成的复合函数，为中间变量.
3 反函数、隐函数
(1）原来的函数为,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。
(2） 隐函数: 。
4 初等函数
(1） 基本初等函数：常数，幂,指数，对数，三角，反三角.
(2） 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数,称为初等函数.

题型三 分段函数的复合
方法:各种情形分别讨论。
例6 设, ， 试求。

§2 极限
一 极限的概念
1 数列极限： 对于当时有 .
2 函数的极限
（1) (自变量趋向于有限值的情形)
（a）,，当时，
有.
（b) （左极限） 。
（右极限) 。
（c) .
(2)(自变量趋向于无穷大的情形）
(a）,，当时，
有.
（b） .
。
(c) .
(3） 常见有不同极限的函数：分段函数、
二 极限的性质
1 有界性： 有界；
有界
2 有理运算性质:
（1） 若, ， 则 （a）
（b） （c） .
(2） 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0,上述运算法则就成立。
(3） 延伸:若，则
(a） （b)。
例 设，求和.

3 保号性：当有

三 极限的两个存在准则
（1）单调有界定理： 若数列单调且有界, 则有极限.
（2）夹逼准则： 设在的领域内恒有， 且
, 则。

四 无穷小和无穷大
1 无穷大量： 若, 称为的无穷大量。
正无穷：； 负无穷：。
2 无穷小量： 若， 称是时的无穷小量。
（1) 设、都是时的无穷小量, 若且,
(a） ,称是比高阶的无穷小，记以,
(b) ，称与是同阶无穷小。
（c) ,称与是等阶无穷小,记以.
(2）若为无穷小,且,称的阶无穷小.
（3）无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小；
有限个无穷小的和（乘积)仍然为无穷小。
(4) 等价无穷小的作用: 若， 则。
(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.
3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大；
无穷大的倒数为无穷小。

题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论
核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形
例1 设对 有且, 则（ ）
A 存在且为0 B 存在但不一定为0
C 一定不存在 D 不一定存在

例2 设数列与满足， 则下面断言正确的是（ )
A 若发散，则必发散， B 若无界，则必有界
C 若有界, 则必为无穷小 D若为无穷小，则必为无穷小

例3 设均为非负数列, 且，，， 则( )
A B
C 不存在 D 不存在

例4 设函数在内单调有界, 为数列, 下面命题正确的是( )
A 若收敛，则必收敛 B 若单调,则必收敛
C 若收敛， 则收敛 D若单调， 则收敛

题型二 求函数的极限
步骤1：四则运算和等价无穷小
注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形。
注2：常见的等价无穷小 当时，，，,
,,,，
当时, 。
例5 求极限.

例6 若是等价无穷小，则

例7 .

例8 求

例9 求

例10 求

例11 求

例12 设， 求

步骤2：恒等变形
（1）. 含的极限.
(a）若直接计算且, 直接利用公式

（b） 将写成求解.
例13 求。

例14

（2) 有理化变形
例15

（3) 分子、分母同时除以最大的无穷大
常见的无穷比较:
例16 求

例17 设, 求。

步骤3：洛必达法则和导数定义
（1) 先进行步骤1和2,然后再用第3步, 符合洛必达法则用洛比达法则；
（2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解， 此类问题一般为抽象型问题.
例18 求

例19 设函数，则当时,
是的（ )［无穷小量的比较]
(A） 低阶无穷小 （B) 高阶无穷小
(C） 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小

例20

例21 设且可微, 求极限

步骤3’： 泰勒定理
含：可直接利用Peano形式的泰勒定理.
例22 求.

题型三 求数列的极限
方法1：将换成， 直接利用求函数极限的方法求解。
例23 .

例24 求

方法2：单调有界必有极限， 应用在递推数列求极限
例25 设， 且， 证明极限存在并且此极限。

方法3：夹逼准则。
例26 求,其中.

题型四 求数列连加和的极限
方法1：直接合并
例27 求

方法2:夹逼准则
一般情况下只放分母不放分子， 且必须使左右两边的放缩项极限相同.
例28 求

方法3：定积分定义. 若函数在区间上可积， 则

例29 求

例30

练习:
题型五 已知极限求未知参数
1 若是的多项式型问题，考虑多项式的最高次数。
2 若是型， 根据分子或分母极限为0得到一个参数再求解其他参数。
例31 设, 求。

例32 确定值,使.

§3 连续
一 连续与间断
1 连续的概念
（1） 若，则称在点处连续。
（2) 若，则称函数在点处左连续；如果，
则称函数在点处右连续. 如果函数在点处连续,则在处既是左连续，又是右连续。
2 间断点的分类：非连续点
（1） 第一类间断点: 与都存在的间断点：
若，则称为跳跃型间断点.
若=，则称为可去间断点.
(2） 第二类间断点: 与中至少有一个不存在的间断点
若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点.
当时函数值在摆动, 称为摆动型间断点.
3 间断点可能情形:定义域的端点、分段函数分段点。

二 连续函数的性质
1 连续函数运算的性质。
(1) 若在连续， 则,在连续，若还有条件
,则在在也连续.
(2) 若在连续，在连续, 则在在连续.
（3） 初等函数在定义域内都连续.

2 闭区间连续函数的性质： 闭区间[a,b]上的连续函数
（1）（有界性定理）在［a，b］上有界。
（2) (最值定理） 在[a，b]上有最大值和最小值。
（3)（介值定理） 设为在［a,b］上的最小值最大值，则对,
至少存在一点，使。
（4）(零点定理)若，则至少存在一点，使。
注：若，则至少存在一点，使.

题型一：讨论连续性与间断点的类型
具体函数：一般利用连续与间断的定义。
抽象函数：一般利用连续函数运算性质。
例1 设内有定义,为连续函数，且有间断点,则
（A）必有间断点。 （B)必有间断点。
(C）必有间断点. （D)必有间断点。

例2 设函数，讨论函数的间断点,其结论为( ）
（A)不存在间断点 (B）存在间断点
(C）存在间断点 （D)存在间断点

例3 设则在处( ）
（A)极限不存在 （B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导 (D)可导

例4 求的间断点，并判别其类型。

题型二：证明或者方程有根。
若具体已知了某些函数值或者函数值的等式， 用零点定理;
若没有这些信息， 一般采取介值定理, 只要证明。
例5 设在连续,且，求证存在使得
.

例6 设是上非负连续函数，且证明：对任意实数
(），必存在，使得，且。

例5设 ，
（1)证明：存在；
（2)证明:存在且为正整数）。

第二章 一元函数微分学
§1 导数与微分
一 导数与微分的基本概念
1 导数的概念：
左导数： 右导数：
导数存在 左右导数存在且相等
2 微分的基本概念
(1）。

(2) 且

3 可导(微)、连续关系：存在在可微在连续.
4 导数的几何意义：切线的斜率
题型一:可导性的讨论
核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论.
例1 设函数连续， 则下面命题错误的是（ )
（A)若存在， 则 （B）若存在， 则 （C）若存在, 则存在 (D）若存在, 则存在

例2 设,可导的充要条件的是( )
(A)存在 （B)存在
（C）存在 (D）存在

例3 设可导，,则是在可导的( )条件
(A) 充分必要 （B) 充分非必要 （C) 必要非充分 （D) 即非充分也非必要

注：若且在连续，存在
例4 函数有( ）个不可导点.
（A）3; （B）2； （C)1; （D）0。

二 导数与微分的计算公式
1 导数的有理运算和复合运算法则
（1） (2）
(3） (4）
2 微分的有理运算和形式不变性
(1)
(2） ， 不管是最终变量还是中间变量。
3 特殊函数求导法
(1) 反函数求导:,
（2)参数函数求导：， 。
（3)隐函数求导三大方法:直接求导、直接微分、公式法.
（4）变上限函数求导：设在上连续，则.
推广：
4 连环相乘的对数求导法:应用在形如的函数
两边取对数
从而
题型二：求显函数的导师
（1） 定义：讨论可导性、分段函数求导;求函数在一点的导数。
(2） 公式:四则、复合、对数.
例5 设， 求

例6 设, 求

例7 设, 求.

例8 设在连续, 且，令， 求.

例9 设,且在可导， 令,求。

题型三：隐函数和参数函数求导
隐函数求导有三种方法： 一般情形下求导和求微分的方法等价。但若只要求隐函数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到的关系， 不采取解出再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法.
例10 函数由方程确定， 求.

例11 设可导函数由方程确定,其中可导函数,且, 求。

例12 设设可导函数由参数方程所确定， 求.

三 高阶导数
(1）在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以。若
的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记为或。
(2)运算法则:，
(3） 常见函数的高阶导数：,

题型四 求高阶导数
1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解.
2 若函数为,利用莱布尼茨公式求解.
3 若只求某点的高阶导数， 利用泰勒公式
例13 设， 求.

例14 求函数在点的100阶导数.

§2 中值定理和导数的应用
一 微分中值定理
1洛尔定理: 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导
， 则存在，使得。
2 拉格朗日定理:设函数在闭区间上连续，在开区间内可导， 则
存在，使得.
推论： 若在内可导，且，则在内为常数。
例 证明。

3 柯西中值定理:设函数和在闭区间内皆连续，在开区间内皆可导，且，则存在使得 。

二 泰勒定理(泰勒公式）
(1） Lagrange余项:设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式
（2）皮亚诺余项: 设在处有阶导数，则有
注：上面展式称为以为中心的阶泰勒公式;时，也称为麦克劳林公式。
(3) ,，，和等的阶泰勒公式.

三 极值
1若对点,存在它的某一邻域， 使得其中，总有，称为函数的一个极大（小）值，称为极大(小）值点。
2 必要条件： 为极小值(驻点）或的不可导点.
3充分条件: 一阶判别法和二阶判别法
（1） 为可能极值点, 在和异号，左边小于0右边
大于0为极大值, 反之为极小值.
（2) 在处有二阶导数,且，，则当，
为极大值,为极大值点.
题型一：极值的判断与求解
1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解。
2 若已知函数可导， 先求可能的极值点， 然后再用充分条件判断。
注:极值的两个充分条件不能互相替代， 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导数判别法。
例1 设在处连续，若， 问
（1） 当时， 是否存在?
（2） 是否为的极值点?

例2 设由方程确定， 求的极值点和极值。

例3 求函数的单调区间与极值。

四 最大值和最小值
1闭区间上最值
(1) 求出在内所有驻点，和不可导点;
（2) 计算；
(3） 比较上面的值，最大者就是最大值;其中最小者就是最小值.
2 开区间上最值
(1) 求出驻点，利用图表法划分单调区间；
（2） 作出草图， 求出最值.
例4求函数的最大值与最小值。

五 凹凸性与拐点
1若称是凸的，若则称是凹的。 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
2 必要条件：或不存在。
充分条件：去心邻域二阶可导，在左右变号。
题型二：判断凹凸性和拐点
例5 设有二阶连续导数且,又， 则（ ）
(A) 是的极大值 (B） 是的极小值
（C） 是曲线的拐点
(D) 不是的极值， 不是曲线的拐点

例6设在连续， 且在内有二阶连续导数,
的图形如右, 则的驻点、极值点、拐点的个数为（ )
(A） 4，4，4 (B） 4,4，3 （C) 4，3，4 (D） 5,4，4

六 渐进线
1 垂直渐近线：或。
2 有斜率的渐近线：或，
其中或
题型三 求渐近线方程
1 垂直渐进线： 先求可能点（定义域的端点）+ 定义判断
2 有斜率的渐近线：先求的情形， 再求的情形
例7 设， 求的渐近线。

例8 设,则具有渐近性的条数为 ( ）
(A） 1 (B) 2 (C） 3 (D) 4

题型四 方程根的讨论
1 写出方程对应的函数。
2 求的驻点，利用图表法将函数分解成几个小的单调区间.
3 作草图， 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数
例9 试讨论方程的实根个数.

例10 试确定方程的实根个数.

题型四 中值定理的等式证明
情形一: 一个中值点、一阶导数
1 参数放在等式右边，左边为或的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。
2 辅助函数法
注:特别要注意变上限函数的情形。
例11 证明：使得,

例12 设在连续，在可导，证明：使得
。

例13 在连续，在可导,，证明
使得

例14 在连续,在可导,且满足,证明
1） 存在；
2） 存在 ,。

例15 在连续,在可导, 且,证明:
使得

情形二 阶导数一个中值点
方法:多次利用洛尔定理。
例16 在上有三阶连续导数，,
证明：使得。

情形三 阶导数2个中值点
1三个点，用二次Lagrange中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的。
2 将两个参变量分离在等式的两边,与形式作对比,确定，利用柯西中值定理即得.
例17 设在连续，在可导，证明：
使得。

例18 设在连续，在可导，证明
使得。

例19设在连续，在可导，且满足，证明
(1) 存在；
(2) 存在不同的点

题型五 不等式的证明
情形一: 不含中值点
方法1 参数放在等式右边，左边为或的形式，
直接利用拉格朗日或柯西中值定理.
例20 若，证明:.

例21 设,证明：。

方法2:辅助函数法
1 设置一个自变量，构造自变量的函数;
2 对函数求导，通过研究导数求最值，
(1） 具体而言，要么求出的根设法证明其中一个根为最值点；
要么证明或，得到单调性.
（2） 如果无法把研究清楚， 就通过研究得到的性质.
3 将最值和要证明的值做比较
例22 若，证明 。

例23 若，证明。

例24 证明:当时， 。

情形二: 含中值点或者
核心点：Lagrange中值定理和泰勒定理， 在导数和高阶导数信息最多的点展开.
例25 若在上二阶可导，,证明：
使得.

例26 若在上二阶连续可导，且， ，证明：
使得.

三 积分及其应用
§1 不定积分
一 不定积分的基本概念
1 定义：在区间上成立，则称为在区间的原函数。
在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分,记为.
2 充分条件：若连续则必有原函数.
注:等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示。
3 不定积分的性质
(1) （2）
(3) （4）

二 第一类类换元法
1 公式:设，又可导，则.
2 常用的凑微分
（1) （2）
（3) （4)
（5)
(6) , 特别的要记处。
例 求 ，

练习：

注：和很有用要记住。
二 第二类类换元法
1 公式：若可导、单调且则.
2 常见代换模式
(1) ，令,
（2） ， 令，
（3) ，令,
(4） 或,令或
3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式, 其他类型的复杂
函数也可尝试此法.
例 求。

三 分部积分法
1 公式：设，均有连续的导数，则。
2 在选用分部积分法时,选取的顺序为三角、指、幂、有理、反对数、反三角。
例 求.

四 特殊函数的积分
1 有理函数积分
（1) 特型方法:除、拆。
(2） 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法。
例 求 和

2三角函数的积分
(1) 万能公式法：
(2) 一般情形下，式子比较简单才会用万能公式，其他用凑微分。
例 求.

题型一 求解不定积分
例1 求

例2 求。

例3 计算不定积分

例4 设，则

例5 求解 和

题型二 求分段函数的不定积分
1 在各段先求出不定积分
2 分界点的连续性(少数时候用到可导性)，得到一系列方程并求解.
例6 设求的原函数.

§2 不定积分
一 定积分的基本概念
1 定义：。
特别的：或.
2 充分条件:函数在连续或函数在有界且仅有有限个间断点.
必要条件:函数有界
3 定积分的重要性质
（1) 。
(2）.
(3) 若 则.特别的：
又有但两个函数不全相等,则.
(4)中值定理。 设在上连续，则存在使得
.
（5) 定积分是一个数
题型一 定积分的概念和基本性质
例1

例2 设为连续函数，且，求。

二 微积分基本定理
1 设在上连续，则.
推广: 。
注： 我们只能计算被积函数为的变上限函数的导数，若为必须通过提取或变量代换将积分函数化成只和有关的函数.
2 (N—L)在上可积,为一原函数，则.
3 不定积分与定积分的转换
(1） .
(2） （在单调，，）；
(3）.
注: 无论是哪一种换元在计算中一定要变换积分限。

题型二 关于变上限函数的求导
例3 设在连续且，求．

例4设在连续,又,求．

例5 设，求．

三 反常积分
1 无穷区间上的广义积分
（1）定义:. 若极限存在，则称广义积分是收敛的,它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。
(2） 其他类型:

（3）一个结论：
2 无界区间上的广义积分（瑕积分)
(1)定义：设在内连续，且，则称为的瑕点。定义。 若极限存在,则称广义积分收敛，且它的值就是极限值,若极限不存在,则称广义积分发散.
(2） 其他类型： ，为的瑕点
， 为的瑕点
（3)一个结论：

三 关于积分的其他
1原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.
2 公式：

题型二 定积分和反常积分的计算
1 对称性和周期性
（1)对称性：，
（2)周期性：是周期为的函数。。
例6 ，则( ）
(A)； (B）；
（C）； （D）.

例7设函数，
(1）当为正整数,且时，证明：；
（2)求.

练习:设
A 为正常数 B 为负常数 C 恒为0 D 不为常数

2 公式：三大积分方法
例8 求积分。.

例9 求。

3 特殊技巧
1）对直接不好积分的函数， 采用积分变量替换的方法，
一般情形下做替换时要注意积分区间不变。 常用的
替换为：等等。
2） 直接求解或者配对相加求解.
例10求。

例11 求

题型三 特殊函数定积分的计算
1 变上限函数
方法：变上限函数为分布积分法或二重积分交换积分次序的办法(推荐）。
例12 求.

练习： 。

2 分段函数
（1） 设分段函数，若要计算的积分,先进行变量代换变成
相关函数的积分.
（2） 分析分段函数各段的定义域,划分区域分段积分相加.
注： 本类问题中一个特例是绝对值函数和最值函数,对于这种情况先把它写成分段函数然后用上述方法求解.
例13 。

例14 求.

题型四 定积分的等式证明
1 积分的换元法:应用于不含中值点且被积函数不含导数的等式证明.
(1) 将等式的一边变量为, 另一半为. 若一端为, 另一端为
则令。
（2） 若函数无法得到换元，则比较被积函数的积分区间.
注：两个常见的代换:
例15 证明

练习：证明

例16 设，在区间上连续，为偶函数,且满足条件（为常数）。
（1)证明：；
（2）能利用（1)的结论计算

2 分部积分法：不含中值点, 被积函数含导数.
从含高阶导数的积分式开始用分部积分法，直到化到令一端。
例17 若在有二阶连续导数，证明：
。

练习：设在有二阶连续导数，，证明：

3 微分方法：不含中值点， 两边积分均可看做函数.
先证明导数相等，后证明值也相等。

4 中值定理:微分中值、积分中值和泰勒定理。
例18 在上二阶连续可导数且 证明：
(1)写出的带Lagrange余项的一阶麦克劳林展开式；
（2） 使得。

例19 在连续， 且，证明使得
。

题型五 定积分的不等式证明
1 积分的性质:比较性.
应用于比较简单的不等式证明,积分的上下限相同， 即.
例20 设在上连续， 且， 试证明：。

例21 比较与的大小。

2辅助函数法：容易设置辅助函数， 辅助函数容易求导.。
(1) 选择某个字母为自变量, 设置辅助函数
(2) 求导，确定最值或者单调性
(3) 比较取值范围和要证明的值的大小
例22当时，证明（为自然数）的最大值不超过。

例24 设在上连续，证明

练习：在连续且单调递增，证明：
。

3 中值定理：微分、积分中值和泰勒定理
应用在：含中值点、的问题等.
例25 设在有一阶连续导数且， 证明:
。

例26设在上有连续的二阶导数，且,
试证明： 。

补例:设在上有连续的一阶导数，且，试证：
，其中.

第三部分 定积分的应用
1微元法：要求，先考虑一个微小的区间，将部分量,
。
2 积分的几何应用
（1） 面积
（2） 体积 ；
(3) 弧长 （数学一、二)
旋转面的面积 （数学一二)
3 积分的物理应用(略)
例1 求由与确定的平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。

例2 已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为，
（1)问和何值时,达最大值?
(2）求出此最大值.

例3 求曲线的全长。（数学一、二)

四 空间解析几何(数学一）
§1 基本概念
一 向量
1 定义：既有大小，又有方向的量, 称为向量。在本章中，向量一般写作.
2 对于平面（或空间）中任一向量,它与平面(或空间)的点一一对应，因此可用点
表示向量，即也写作，其中.
3向量的基本属性
(1） 向量的长度称为模长，显然它就等于点与原点的距离即。
（2) 向量与轴所称的角称为与的方向角，它的余弦值称为与方向余弦。其他类同。
(3)长度为1的向量称为单位向量,故而就是的单位向量。
注:单位向量的元素就是方向余弦

二 向量的运算
1负向量：大小相等但方向相反的向量，记为
2向量加减法：,平行四边形法则。
即。
3 数量积: ,.
位置：，意义: .
4 向量积： ， 方向符合右手法则,×=。
位置： ，意义： 表示构成平行四边形的面积。
5 混合积: .
位置: 共面，意义: 表示构成平行六面体的体积。
三 平面方程和直线方程
1 直线方程： , 其中为方向向量。
平面方程: 。
2 位置关系的判断
(1) 设则
（a） (法向量共线但两平面不重合)
（b）
（c) 的夹角,
(2） 设则
（a） 即且不满足的方程；
（b)
(c) 的夹角,
3 距离
(1） 点线距: （2） 点面距:。
（3) 异面直线：

四 曲面方程和空间曲线方程
1 曲面:一般方程;参数方程 .
2 曲线： 一般方程 ；参数方程 。

3 常用二次曲面的方程及其图形
（1) 椭球面
（2）单叶双曲面 和双叶双曲面 (双曲面)。
（3）椭圆抛物面 和双曲抛物面 (抛物面）。

五 旋转和投影
1 旋转面的方程求解。
（1) 设一般点，得到平面上的点的坐标。
（2) 通过旋转面的特性（同一圆上的点到中心线距离相等），得到一般点 与平面点的关系,
2 平面上的投影
设曲线关于平面的投影柱面，则在平面上的投影曲线为同理,可得关于其他两个平面的投影曲线。
§2 基本题型
一 向量的相关习题
重点考核数量积、矢量积和混合积的直接计算公式和坐标计算公式。
例1 设(×）·＝2,则[（＋）×（＋)］·（＋）＝________．

二 直线和平面的相关问题
求直线和平面方程先要求向量（方向或法）再找一个点，用点向式求解.
求直线和平面的位置关系,用矢量积判断是否垂直，或两个向量对应成比例判断
求直线和平面的距离用相关公式求解.
例2 过直线L1：且平行于直线L2：的平面方程是________．

例3 证明下列三个平面相交于一条线..

题型三 求旋转面和投影
例4 求由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面

例5 求曲线C:在xy平面上的投影曲线的方程．

五 常微分方程和差分方程
一 一阶微分方程
1 可分离：, 则.
2 齐次： ，令 则。
3 一阶线性方程
(1） 解的结构：为齐次线性方程的特解，则线性组合齐次线性通解. 若非齐次的特解，则是此非齐次线性方程的通解。
(2） 解的表述： 则
4伯努利方程 (数学一)
求解方法：令， 方程转化为一阶线性方程。
5 全微分方程 (数学一)
(1) 定义：.
(2） 解法：.
题型一： 求解一阶方程
（1) 定类型：将方程表示成，看其是否是可分离、齐次或者一阶线性。
(2） 是否全微分：验证是否成立.
(3) 若(1),（2)无法求解, 考虑置换应变量与自变量。
注:(3）一般用在分母复杂、分子简单的方程。
例1 求初值问题的解.

例2 设是的解，求此微分方程满足的特解.

例3 求解方程

例4 （1） 求微分方程的通解。
（2） 求微分方程

例5 已知函数在任意点x处的增量，且当时,是比较高阶的无穷小，，则（ ）
（A）2． (B)． （C）． （D）．

例6设，其中，在内满足以下条件，，且，
（1）求所满足的一阶微分方程 （2）求出的表达式

二 二阶微分方程
1 二阶线性微分方程
（1） 二阶线性齐次微分方程：
二阶线性非齐次微分方程：
（2) 解的结构.
（a)，为齐次线性方程的两特解，则也是解.
特别地，与线性无关时，则方程的通解为.
（b） ，为非齐次的解， 则是齐次方程的解.
(c） 若非齐次的特解，与为齐次方程线性无关的两个解，
则是此非齐次线性方程的通解。
（d）叠加原理：若是方程的一个解,是方程
的一个解，则是
的一个解.
注： 叠加原理就是将复杂的方程分解成一些列简单方程组.

2 常系数微分方程
(1） 齐次线性微分方程
特征根
线性无关二解
实根

实根

复根

(2）非齐次线性微分方程：

r与，的关系
特解y*的形式

r≠，r≠

r=，r≠

r=，r=

不是特征根

是特征根

3 可降阶的高阶微分方程（数学一、二）
方程类型
解法及解的表达式

通解

令，则，原方程一阶方程

令，把看作的函数,则把的表达式代入原方程，得一阶方程,

题型二： 求解二阶方程
(1) 定类型：常系数、可将阶