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北京万学海文考研数学
秋季导学班考研辅导讲义

主讲 铁军 教授

高 等 数 学

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数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三。

第一章 函数及其特性
第二章
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。

【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态——奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算——复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。

一、函数的奇偶性

设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。

【考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）
（2），
（3）

【考点二】设二阶可导，则有：
（1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且
。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。
（2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且
。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。
【例2（1997数学三、四）】若在内 且，则在内有( )
（A） （B）
（C） （D）

二、函数的周期性

对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。
【例3】设对任何存在常数。证明是周期函数。

【例4】设，则在内，（ ）.
(A) 是周期函数，周期为 (B) 是周期函数，周期为
(C) 是周期函数，周期为 (D) 不是周期函数

【例5】设在上有定义，且恒有关系式
成立，其中为正实数，证明是周期函数。

【考点四】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，
。
【例6】设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）
(A) (B)
(C) (D)

三、函数的有界性

设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。

【考点五】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。
（2）非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量.
【评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。
（2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。
是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。
【例7】设函数，则f (x)是（ ）

【例8】当时，变量是（ ）
（A）无穷小。 （B）无穷大。
（C）有界的，但不是无穷小量。 （D）无界的，但不是无穷大。

【例9】设数列，则下列断言正确的是（ ）
（A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界
（C）若有界，则必为无穷小 （D）若为无穷小，则必为无穷小

四、函数的单调性

设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“≤”或“≥”改为“<”（或“>”），称函数在上严格单调增加（或严格单调减少）。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，若对任一，有在[a,b]上单调增加（减少）。
注意： 若将上面的不等式的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立。
【考点六】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；
（2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。
【例10】设， 分别为定义在内的严格增函数与严格减函数，则（ ）.

【例11】设f(x)在内可导，且对任意，当时，都有，则（ ）
（A） 对任意 （B）对任意
（C）函数单调增加 （D）函数单调增加 .

五、分段函数与复合函数

在用公式法表示的函数中，若自变量与因变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达，即在函数定义域的不同部分用不同数学式子表示的函数，称为分段函数。
分段函数的定义域是各个部分自变量取值范围的总和或并集。
设函数的定义域为，函数的值域为，若集合与的交集非空，称函数为函数与复合而成的复合函数，为中间变量。对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。
将两个或两个以上的函数特别是分段函数进行复合是考研中的基本题型。

【考点七】求分段函数的复合函数的主要方法是：分段代入法。其核心是先代入，后解不等式。
【解题程序】（1）代入：如果复合函数的外层函数是段分段函数，而内层函数是段分段函数，则将内层函数分段代入外层函数后，得到的复合函数为段的分段函数。
（2）解不等式：分别解出个不等式构成的不等式组，把无解的不等式组去掉，即得所求的复合函数。
【例12】设 ， ，
求.

【例13】设 则（ ）
（A） （B）
（C） （D）

【例14】设( )
（A）
（B）
（C）
（D）

六、反函数
设函数的值域为，定义域为，则对于每一个，必存在使。若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。但习惯上把反函数记作。
在同一直角坐标系下，函数与其反函数的图形是同一条曲线；而函数与其反函数的图形关于直线对称。

【考点八】求反函数的程序：（1）由解出，得到关系式；
（2）将与互换，即得所求函数的反函数。
【例15】已知 ，求反函数及其定义域。

【例16】设f(x)和g(x)互为反函数，则的反函数是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）.

【例17】已知函数与的图形对称于直线，且
，则

第二章 数列的极限

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
一、数列的极限

1．数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有 ，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2．极限存在准则
（1）定理1.1.4（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ， 则极限 存在，且等于A .
注 对其他极限过程及数列极限，有类似结论.
（2）定理：单调有界数列必有极限.
3．重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3） 。
【考点九】(1) 单调有界数列必有极限.
(2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为.
（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为.
【评注】（1）在应用【考点九】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
（2）判定数列的单调性主要有三种方法：
I 计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。
II 当时，计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。
III 令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。
【例1】(1) (武汉大学，2003年)设，，, 证明：收敛，并求其极限。
(2) （中国科学院，2002年）设 （n>1），，则 .

【例2】设.证明数列的极限存在，并求此极限。

【考点十】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且
，则.
【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。

【例3】求下列极限：

【例4】设 （），求 .

【例5】设，且，为常数. 则数列和（ ）
（A） 都收敛于 （B）都收敛，但不一定收敛于
（C） 可能收敛，也可能发散 （D）都发散

【例6】设，且，，和均为数列. 则
（ ）
（A）存在且等于 （B）存在但不一定等于
（C）一定不存在 （D）不一定存在

【考点十一】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有
（1），
（2） .
【例7】求下列极限：
（1） （2）

【例8】求下列极限：设函数，求极限.

【考点十二】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。
【例9】求下列极限：
（1）
（2）（其中）

第三章 函数的极限

【考点分析】函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

【考点十三】 也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。
【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点十三】判断双侧极限是否存在。
【例1】当时，函数的极限（ ）
（A）等于2. （B）等于0. （C）为 （D）不存在但不为

【例2】求极限

【考点十四】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法：
（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；
（2）将极限值不为零的因子先求极限；
（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）
（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。
【记忆要点】常见的等价无穷小代换：
（一）基本情形：当时，我们有：
（1）sinx~x (2)arcsinx~x （3）tanx~x
(4)arctanx~x (5) (6)
(7) (8) (9)
(10)() （11）
（12）
（二）差函数中常用的等价无穷小代换：当时，我们有：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【例3】（2003数学二）若是等价无穷小，则

【例4】.

【例5】求

【例6】若.

【考点十五】求型未定式极限的方法：
（1）分子、分母同时除以最大的无穷大
（2）使用洛必达（）法则
【例7】求极限.

【考点十六】化和型未定式为型和型的方法是：
（1）通分法 （2）提因子法 （3）变量代换法

【例8】求下列极限：

【考点十七】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即

（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式：
。推导如下（为简便，略去自变量）：

【例9】已知，求常数

【例10】设

【例11】

【考点十八】（1）已知＝ A，则有：
① 若g(x) ® 0，则f (x) ® 0；
② 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，则g(x) ® 0.
（2）已知，若，则.
【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十八】是主要的分析问题与解决问题的方法。
【例12】若，则a =，b =.

【例13】设，则（ ）
（A），（B），
（C），（D），

【考点十九】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用 无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。
【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。
设是同一过程下的两个无穷小，即。
若
若则称是比低阶的无穷小；
若
若
若则称与是等价无穷小。
【例14】当的
（A）低阶无穷小。 （B）高阶无穷小。
（C）等价无穷小。 （D）同阶但非等价无穷小。

【例15】设当高阶的无穷小，则
（A）。 （B）。
（C）。 （D）。

【例16】设当高阶的无穷小，而
高阶的无穷小，则正整数等于
（A）1． （B）2。 （C）3。 （D）4。

第四章 函数的连续性

【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。

一、函数的连续性与间断点

Ⅰ. 函数连续性概念
定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若，
则称函数在点处连续，并称为连续点。
定义2 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且
，
则称函数在点处左（右）连续。
显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。
定义3 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。
Ⅱ. 函数的间断点及其分类
定义 函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：
（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；
（2）不存在；
（3）与都存在，但
则称在点处不连续，或称为函数的间断点。
间断点的分类 设为函数的间断点，间断点的分类是以 点的左、右极限来划分的。
第一类间断点 若与都存在，则称为第一类间断点：
（1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度；
（2）若存在（即=），则称为可去间断点。此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。
第二类间断点 若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。
【考点二十】在由抽象函数构造的连续性选择题中，选择的次序应从最简单的函数开始，最简单的往往就是正确选项。

【例1】设有定义，分别各有唯一的间断点，则必有间断点的函数是（ ）
（A）f[g(x)] (B)f(x)g(x)
(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)

【例2】设内有定义，为连续函数，且有间断点，则
（A）必有间断点。 （B）必有间断点。
（C）必有间断点。 （D）必有间断点。

【考点二十一】判断含有参变量的极限构成的函数的连续性，其关键是在求极限的过程中，正确区分哪一个是变量，哪一个是不变的量即参变量。
【评注】在极限式中若含有参变量，因参变量取不同值时，其极限值不同，因此，要根据所给极限式，首先确定参变量应如何划分区间。然后根据参变量的不同取值范围，再求极限。

【例3】设函数，讨论函数的间断点，其结论为（ ）
（A）不存在间断点 （B）存在间断点
（C）存在间断点 （D）存在间断点

【例4】设, 则的间断点为 .

【考点二十二】在连续性的各种题型中，无论是确定函数（特别是分段函数）的间断点及其类型，还是利用连续性确定函数中的常数，解题方法的核心均为先求函数在一些特殊点（特别是无定义的点和分段函数的分段点）处的左右极限和，然后再根据间断点的定义与函数连续的充要条件求出相应结果。
【例5】设函数处连续，则.

【例6】设在（）内有定义，且，
， 则（ ）
（A）必是的第一类间断点
（B）必是的第二类间断点
（C）必是的连续点
（D）在点处的连续性与的取值有关。

二、闭区间上连续函数的性质定理
定理 1.（有界性定理） 闭区间[a,b]上的连续函数必在[a,b]上有界。
定理2. (最大值最小值定理) 闭区间[a,b]上的函数，必在[a,b]上有最大值和最小值，即在[a,b]上，至少存在两点，使得对[a,b]上的一切x，恒有 .
此处与就是在[a,b]上最小值与最大值。
定理 3.(介值定理) 设函数在闭区间[a,b]连续，m与M分别为在[a,b]上的最小值与最大值，则对于任一实数c(m<c<M)，至少存在一点，使。
定理4.（零点定理或根的存在定理） 若在闭区间[a,b]上连续，且，则至少存在一点，使。

【考点二十三】一般应用介值定理，其思路是：所要证的结论可写成的形式，其中，常数介于在上的最大值与最小值之间. 由介值定理的内容本身知，应用介值定理时，必用到最值定理。
【评注】在考研试题中，介值定理主要与微分中值定理或积分中值定理相结合作为综合题出现，单独以此命题的较少。

【例7】设函数在内具有一阶连续导数，且，证明：
（1） 至少存在一点，使.
（2）至少存在一点，使，其中均为正数。

【考点二十四】证明方程有根，且已知函数在闭区间上的取值情况，一般用零点定理，其思路是：将待证的等式或方程改写成的形式，若方程中含有中值，则一律改写为，同样会得到的形式。由此构造在闭区间上的连续函数作为辅助函数，然后利用零点定理证得待证的结论。

【例8】设是上非负连续函数，且证明：对任意实数
（），必存在，使得，且.

【例9】设f(x)是区间[0，2]上的连续函数，且，则在[0，2]上存在两点，使。

【考点二十五】设函数在区间上连续，且对任，均有，则函数在区间上必恒正或恒负（即在区间上必恒大于零或恒小于零）.
【证明】反证之。假设在区间上不恒正且不恒负，则必存在
使.又因为函数在区间上连续，所以在区间或区间上连续，且区间端点的函数值异号，即，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点或，使，这与已知条件矛盾。因此，所作的假设是错误的，函数在区间上必恒正或恒负（即在区间上必恒大于零或恒小于零）.
【例10】设函数内连续，且f[f(x)]=x，证明在 内至少有一个满足f()=.

【例11】设 .
（1）证明：存在
（2）证明：存在且为正整数）.

第六章 罗尔定理
中值定理是一元函数微分学的理论核心，它反映了导数更深刻的性质，是用导数与微分研究函数性质的理论基础，也是研究生考试的考核重点。罗尔定理是四个微分中值定理中非常基本也非常重要的一个定理。
应用中值定理做证明题的关键是设辅助函数，重点应放在掌握每个中值定理本身的特点上，并学会一些简单的技巧和分析方法，用基本的方法解决各种复杂的问题，反复训练，而不应过多地迷信一些华而不实的技巧。

罗尔定理的内容：
若函数f(x)满足条件：
（1） 在闭区间[a,b]上连续；
（2） 在开区间(a,b)内可导；
（3） f(a)=f(b)，
则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得。

【考点二十六】用罗尔定理证明等式常要设辅助函数，其基本方法是原函数法，即
将结论进行变形，把欲证等式的两边移到一边来，将其中的改成，用观察法求出所得函数的原函数，若该原函数满足罗尔定理的条件，这就是辅助函数。这种求辅助函数的方法称为原函数法。

【例1】设函数在上连续，在内可导，， 证明：存在使得

【例2】设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，试证：至少存在一点，使.

【考点二十七】若欲证等式可变形为：，则应取辅助函数为，然后应用罗尔定理进行证明，这种求辅助函数的方法称为公式法。
【例3】设函数在上连续，且在内可导， 试证：对任意的实数，存在一点使得

【例4】（王式安等著《数学标准全书》第79页）设函数在上连续，在内可导，且.证明：至少存在一点，使得.

【考点二十八】用罗尔定理证明等式常要设辅助函数，若已知条件中包含：定积分的值等于某个函数值或零，且辅助函数很难由原函数法得到，则可取积分的被积函数为辅助函数，然后用积分中值定理找到使辅助函数值相等的点；也可将已知的定积分改为积分上限函数作为辅助函数，最后用罗尔定理证之。

【例5】设在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且满足

证明至少存在一点，使得。

【例6】设函数在上连续，在内可导，且满足
.
试证：至少存在一点，使 .

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