通用版2023高中数学函数的应用必考考点训练.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学函数的应用必考考点训练高中数学函数的应用必考考点训练 单选题 1、若函数()=(3 3 )有 3 个零点，则实数的取值范围是 A(0,12)B(12,+)C(0,14)D(14,+)答案：D 解析：根据指数函数的值域为(0,+)，所以转化为()=3 3 有 3 个零点，对()求导，分类讨论，得到()的单调性，从而求得函数的零点个数，得到结果.令()=3 3 ，若()=()有 3 个零点，即()有 3 个零点，()=32 3.当 0时，()0，()是增函数，至多有一个零点；当 0时，()=0，=.由题意知()0，()14，故选 D.小提示：该题考查的是有关根据函数零点的个数求参数的取值范围的问题，注意应用导数研究函数的单调性，从而确定出函数的零点的个数，属于简单题目.2 2、已知函数()是定义在R上的奇函数，满足(+2)=()，且当 0,1时，()=log2(+1)，则函数=()3的零点个数是（）A2B3C4D5 答案：B 解析：根据题意把函数=()3的零点问题即=()3=0的解，转化为函数=()和=3的图像交点问题，由题可得()关于=1对称，由(+2)=()=()=(2)=(2)，可得()的周期为 4，根据函数图像，即可得解.由(+2)=()可得()关于=1对称，由函数()是定义在R上的奇函数，所以(+2)=()=()=(2)=(2)，所以()的周期为 4，把函数=()3的零点问题即=()3=0的解，即函数=()和=3的图像交点问题，根据()的性质可得如图所得图形，结合=3的图像，由图像可得共有 3 个交点，故共有 3 个零点，3 故选：B.3、碳 14 是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳 14 的含量与自然界中碳 14 的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳 14 摄入停止，机体内原有的碳 14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972 年 7 月 30 日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前 217 年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前 168 年.至今，女尸碳 14 的残余量约占原始含量的（参考数据：log20.7719 0.3735，log20.7674 0.3820，log20.7628 0.3906）（）A75.42%B76.28%C76.74%D77.19%答案：C 解析：首先建立生物体内碳 14 的含量与死亡年数之间的函数关系式，根据的值结合参考数据求得.每经过 5730 年衰减为原来的一半，生物体内碳 14 的含量与死亡年数之间的函数关系式为=(12)5730(0).现在是 2021 年，所以女尸从死亡至今已有2021+168=2189年，由题意可得，=(12)21895730(12)0.3820=20.3820.因为log20.7674 0.3820，所以 20.3820 0.7674=76.74%.故选：C 解答题 4、已知函数()=log2(1+)0log12(1 )0，求证：(1)+(2)0；4 （3）若关于x的方程()2+()+34=0有两个不相等的正根，求实数a的取值范围 答案：（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）(34,1)(3,+)解析：（1）(0)=0，然后分 0、0时，=()0，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程2 +(34)=0有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解.（1）(0)=log2(1+0)=0 当 0时，0，有()=log121 ()=log2(1+)=()，即()=()当 0，有()=log21+()=log12(1 )=()，即()=()综上，函数=()在R上是奇函数（2）因为函数=log2在(0,+)上是增函数，函数=1+在R上也是增函数，故函数=log2(1+)在0,+)上是增函数 由（1）知，函数=()是R上的奇函数由奇函数的单调性知，函数=log12(1 )在(,0)上也是增函数，从而函数=()在R上是增函数 由1+2 0，得1 2，所以(1)(2)=(2)，即(1)+(2)0（3）由（1）知，函数=()是R上的奇函数，故原方程可化为()2()+34=0 令()=，则当 0时，=()0 5 原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程2 +(34)=0有两个不相等的正根，即=2 4(34)0 0 34 0 3 0 3434 3 因此，实数a的取值范围为(34,1)(3,+)5、已知函数()=2 1|1|，kR(1)若=()为偶函数，求k的值；(2)若=()有且仅有一个零点，求k的取值范围；(3)求=()在区间0,2上的最大值 答案：(1)=0；(2)(,2；(3)当 (0)，可得函数的最大值(1)=()为偶函数，(1)=(1)，即2=0，解得k0，经检验k0 符合题意；(2)6 由题意得，方程2 1|1|=0有且仅有一个解，显然，x1 已是该方程的解，当x1 时，方程化为(1)(+1 )=0；当x1 时，方程化为(1)(+1+)=0；+1 =0(x1)有且仅有一个等于 1 的解或无解且+1+=0(x1)无解，又x1 时，k2，此时x3 也是方程的解，不合题意，关于x的方程=1(x1)、=(+1)(x1)均无解，可得k2 且k2，综上，k2，即实数k的取值范围为(,2(3)当x0,2时，()=2+1,0 12 +1,1 (0)，当k3 时，所求最大值为(2)=+3；当k3 时，所求最大值为(1)=0