浅谈数列通项公式的求法数学专业论文.doc

学科代码： 学号： 贵州师范大学（本科）毕 业 论 文 题 目：浅谈数列通项公式的求法 学 院：数学与计算机科学学院 专 业：数学与应用数学专业 浅谈数列通项公式的求法摘要: 高中的数学中，数列的通项公式是学习数列的重难点，是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式，有了解析式便可研究函数的性质;有了数列的通项公式，便可求数列的任一项和前n项的和等。因此，在解题的过程中，求数列的通项公式是解题的突破口，关键点。同时，求数列的通项公式，方法灵活多样，对于培养学生的贯彻能力，理解能力和逻辑思维能力有着十分重要的作用。本篇论文就我对数列的学习，研究及近来来数列的考察方向，对通项公式的种种求法做简单浅谈。关键字：数列，通项公式，求法。Abstract: the high school mathematics, the sequence of general term formula is to study the difficult point of the sequence, is one of the core content of the sequence, it as an analytic expression of function, the analysis method to study the properties of the function; A series of general term formula, then ask for the sequence of item before any item and n and etc. Therefore, in the process of problem solving, sequence of general term formula are the breakthrough to problem solving, key points. At the same time, the sequence of general term formula, the method is flexible, to develop the students ability to carry out, understanding ability and logical thinking ability has a very important role. This paper series on my study and research and the recent series of direction, all kinds of method of general term formula to do a simple introduction.Key words: sequence, the general term formula of calculation methods.1. 引言数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列的通项公式求出数列的任一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项及是第几项等问题。数列是高中教材的重要内容。由数列的递推公式求数列通项公式的解题方法是数学中争对性较强的一种解题方法，是培养学生思维深刻性的极好的范例。在学习数列时，如果我们把一个数列的各项之间的内在规律搞清楚，那么我们就能抓住最重要的信息来把握整个数列。数列通项公式的通项公式揭示了第n项与项的序号的关系。掌握此规律有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促使学生对知识的进一步掌握；有利于培养学生的观察力，理解力，创造力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣。数列是高一数学中教与学的重点和难点，是高考的必考内容，求数列的通项是“数列”一章研究的主要问题，在求数列通项公式时，因为一般数列没有统一的通项公式，同学们常因得不到解题要领而束手无策。数列是紧结着第二章函数之后的内容，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。求数列通项的实质是关于正整数为自变量的函数解析式。学习数列一方面可以加深学生对函数的认识，是他们了解不仅有自变量连续变化的函数，还有自变量离散变化的函数；另一方面，又可以从函数的观点出发变动地，直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。但是一般数列一直没有统一的通项公式，这是中学的一大难点，还需要我们进一步的去探究。2. 预备知识定义1 按一定的顺序排成一列的数叫做数列。数列中的每个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（或首项），第2项，第3项，第4项排在第位的数称为这个数列的第项。数列的一般形式可以写成,。其中，是数列的第项。有时我们把这个数列简记为,如果数列的第项与之间关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。定义2 如果一个数列从第项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。等差数列的通项公式求和公式或.注意均属于正整数。定义3 如果一个数列从第项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。等差数列的通项公式,求和公式当时， 。当时，。3 数列通项公式的求法。3.1 观察法。观察法就是从横向和纵向两方面来观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而将横向和纵向的规律加以整合而得到数列的通项公式。 例1 求，.的通项公式。 解析 将数列的项变为，.观察发现，符号的正负号交替出现,分母是一组平方数，分子比分母大1，因此.点评 观察法是求数列通用公式的一种常用方法，熟悉观察法从而灵活运用观察法为数列求解提供了一条便捷之道，运用观察法的关键是找出各项与项数的关系。3.2 归纳法。运用归纳思想方法，即“由一般到特殊”。这种方法经常帮助我们探索和发现并解决一些数学问题，甚至得出很重要的数学结论。应用这个方法可以用“有限”来解决“无限”的问题。在求数列通项时，也可用归纳猜想的方法。例 已知数列的第一项且,猜想的表达式并证明。解析：由已知条件知， 猜想用数学归纳法证明：假设时，猜想成立。假设时成立，即，那么当时有所以当时结论也成立。由可知，对于一切大于等于2的正整数都成立。 点评 一般模式为“特例猜想数学归纳证明”。研究数列经常用到此模式解决一些与自然数有关的问题。3.3 公式法3.31 当已知数列为等差或等比数列时，可直接运用等差或等比数列的通项公式，求得首项及公差或公比即可. 例3.已知是一个公差大于的等差数列，且满足，。求数列的通项公式。 解析：设等差数列的公差为，依题知，由已知得 例4.已知为等比数列，求的通项公式。 解析：设等比数列的公比为，由题知 所以 点评 直接代通项公式便可求。3.32 已知数列的前项和时，通常用公式 用此公式时要注意结论的两种可能，一种是“一分为二”即分段式；另一种是“和二为一”即和合为一个表达式。 例5.已知数列的前项和满足，求 。 解析：由是首项为2，公差为2的等差数列 即 . 点评 要先分n=1和n2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。3.4 递推关系变形法。3.41 型（用累加法）对于形如型的数列，我们可以根据递推关系，写出取1到时所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。即：将上述各式子相加可得：。 例6.已知数列满足，,求。 解析：由 将这个式子累加得 . 点评 累加法是反复利用递推关系得到（n-1)式子相加，从而得到通项。3.42 型（用累乘法）对于形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出取1到时的所有递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。即：将上述个式子相乘，可得：. 例7 已知是首项为1的正项数列，且 ，求通项。 解析 已知等式可化为： 即 时，. 点评 通过因式分解求出和的关系，在将它们的递推式相乘便得到通项公式。3.5 辅助数列法。 所谓的数列辅助就是解决数列问题时，需要做出一个原数列有某种联系的数列（例如 把数列的前项都乘以一个因数，就得到一个辅助数列），它就像解答几何问题时所作的辅助线。利用辅助数列解题的方法就是辅助数列法，是一种研究解答数列的重要方法。3.51 形如型，转化为等比数列来求解，分三种情况讨论：（1）为常数型，即， 从而有（其中均为常数，）。 解法 一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，在利用换元法转化为等比数列求解。 例8 已知数列满足，求通项公式。 解析 由数列的递推公式，变形为，整理比较得，即是首项为8，公比为2的等比数列，。点评 通过对常数3分解，进行适当组合，便得等比数列，从而达到解决问题的目的。 （2）为一次型，即（其中是常数，且），则可以从两个方向来解答。 待定系数法。 例9 在数列中，而且，求数列的通项公式。 解析 数列的递推公式可以写成， 即，与题设比较得， ，即是首项为2，公比为3的等 比数列，即。 相减法。 例10 在数列中，求数列的通项公式。 解析 由得时， ，令， 从而有，故是以20为首项，5为公比的等 比数列，即，用累乘法得 点评 本题的关键是将数列转化为等比数列，然后根据数列通项公式或采 用累乘法便可求解。 (3) 为指数型，即，（其中是常数，且）。 若，即，用累加法即可求。 若，即，则可以从两个方向来解答。 (i).等式两边同除以或。 等式两边同时除以，即有，令， 则 ，用累加法便可求。 等式两边同时除以,即有，令，则 ，根据3.51的（1）便可求解。 （ii).待定系数法，是解题中常用的方法。 设，通过比较系数得出，从而转化为求 等比数列的通项。 例11.已知数列中，,，求通项公式。 解析一 两边同时除以，得，令 得 ，从而. 解析二 两边同时除以，得，令得 ，即，所以是以为 首项,为公比的等比数列，故， . 点评 以上两种解法的关键在于两边同时除以或，进而转化为的类型，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题。 解析三 用待定系数法。设，则 ，比较系数得，所以有 ，即是以为首项， 为公比的等比数列，故.点评 设成等比数列的形式，然后化简，比较系数变得所求值。3.52 倒数法。对于形如(是常数）型，看似复杂，但通过适当的变形也可以转化到我们所熟悉的类型。(1) 若则 ，即是等差数列，根据等差数列公式便可求。 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 解析 由，得，故是以2为首项，为公差的等差数列，即.（2） 若，则，所以有 ，故为等比数列，由等比公式可求。 例13 已知数列满足，求。 解析 由得，从而有，是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即. （3）若，即，可巧设辅助数列 ，推出。令，则问题转化为（2）的形式，再取倒数变转化为等差或等比数列，进而求解。 例14.若数列满足，求数列通项公式。 解析：令，则，故，不妨设，则，所以有，即，故 是以为首项，为公比的等比数列，所以，.点评 有些数列通过取倒数变形的方法，可由复杂变为简单，转化为等差或 等比数列，进而求解。3.53 对于形如（其中为常数）型，可以从下两种情况讨论： （1）若，则等号两边去对数，从而转化为等比数列，即采用倒数法。 例15 已知正项数列满足,求数列的通项公式。 解析 两边取对数得，从而有 ,令，则，所 以是以为首项，4为公比的等比数列，故， 所以. 点评 两边取对数，将复杂数列转化为等差或等比数列。 （2）若时，则采用迭代法。迭代法的含义就是由后一项由前一项推导出来，类似于的形式，一般像这种形式的通项公式都会给出一个初始值，此后各项可以一次求出。 例16 已知数列的各项都是整数，且满足 ，求数列的通项公式。 解析 由得， 令，则. 点评 对含有二阶或二阶以上的数列，通常用迭代法将其转化可求数列。 小结：数列是连接初等数学与高等数学的桥梁，要想对数列的研究进行扩展或延伸，必须知道其通项公式，本文只是介绍了几种常见的数列通项公式的方法，可以看到，求数列通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的的基本知识与技能，基本思想和方法有很大的关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识，基本方法，基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学数值与能力和创新精神。这就要求无论是教师还是学生都要提高课堂教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题横向的拓宽和纵向的深入，通过弱化或强条件和结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为新的命题。这样无论是内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，从而有利于形成和发展创新思维。参考文献： 1龙志明，数列通项公式的九种求法J,求学，2005,11. 2陈云烽，递推数列的求解J,中学数学教学参考，2007,6. 3 吴怀芳，求数列通项的几种类型J,试题与研究，2005,26. 4周沛耕，高中数学奥林匹克竞赛解题大全，山西太原教育出版社，2008. 5曾庆荣，数列通项公式的八种常规求法J,广东教育出版社，2006,14. 6马丽平，求递推数列通项公式的方法J,福建中学数学，2006,05. 7李盘喜，于海洋，苗春，解题决策，高中数学上，东北师范大学出版社，2008,03. 8李文彪，中学课程辅导，教学研究，2009,23. 9聂文喜，高考递推数列分类解析J,试题与研究，2006,26. 10任志鸿，十年高考分类解析与应试策略，海口南方出版社，2003,06。 1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用 91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究 项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！15