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中位线问题集
1、如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F.试说明∠BEN=∠NFC.

证明：连接BD，取BD中点G，连接GM，GN.
在△ABD中MG∥AB，且MG =AB，同理：NG∥CD，NG=CD
∴∠1=∠BEN，∠2=∠CFN
∵AB=CD，∴GM=GN，∴∠1=∠2， ∴∠BEN=∠CFN
本题证明的方法很多，由于大家都比较熟悉，很多参考资料上都有，故不再例举.
2、△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.你还能得到什么结论？

证明：在△ABC，ED= BC，且ED∥BC
在△OBC中FG=BC，且FG∥BC
∴ED∥FG，ED=FG，∴平行四边形DEFG.
3、梯形ABCD中,AD∥BC, E是腰AB的中点,且DE⊥CE.求证：DE、EC分别平分∠ADC和∠BCD.

证明：取CD中点F，连接EF.
∴ EF∥AD ，∠1=∠3 ，
在Rt△CDE中，FE=FD，∴∠2=∠3
∠1=∠2，即DE平分∠ADC，同理，CE平分∠BCD.
此讲义针对中位线，其他方法不再例举，
4、如图，E、F分别是梯形ABCD的对角线中点，求证：

证明：连接DF并延长交BC于点G，易证得：△ADF≌△CGF，
∴FD=FG，AD=CG，在△DBG中，EF=BG=(BC-AD).
5、分别以△ABC的AC、BC为腰，A、B为顶点做等腰直角△ACE、△BCD，M为DE中点，求证：△ABM也是等腰直角三角形.

证明：延长EA到F，使AF=AE，连接CF，延长DB到G，使BG=BD，连接CG.
连接EG，DF.
易证得：△ECG≌△FCD，（实际上是将△ECG绕点C旋转90°得到△FCD）.∴ EG=FD，在△EDF中，AM为中位线，∴AM∥DF，AM=DF，
同理可证：BM∥EF，BM=EF，∴ AM=BM，且AM⊥BM.
∴△ABM也是等腰直角三角形.
6、任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别是MN、PQ的中点，求证：KL∥AE,且AE=4KL.

证明本题之前，我们先来看一个源自于课本，大家比较熟悉的问题：依次连接四边形各边中点，所得到的四边形是平行四边形.而它的两条对角线互相平分.也就是：任意四边形对边中点的连线一定互相平分.即两条连线的交点是它们的中点.如图四边形ABCD中，点M、P、N、R依次是AB、BC、CD、DA的中点，且MN与PR相交于点K，则点K是MN和PR的中点.

现在我们来证明原题
证明：连接AD，取AD中点R，连接RQ，RP.由上面的证明可知在四边形ABCD中，PR一定经过点K，在△PQR中，KL∥RQ，KL=RQ，
同理得：在△DAE中，RQ∥AE，RQ=AE，
∴KL∥AE，且KL=AE.或AE=4KL.
7、已知AB∥CD,∠D+∠C=900,E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF=(DC-AB).

证明：过点D作DG∥BC，交BF的延长线于点G，连接AG，DC于点H.易证得：△BCF≌△DGF，∴BF=FG，在△ABG中，EF=AG，EF∥AG，
又∵AB∥CD，∴ 四边形AEFH是平行四边形.EF=AH，且EF=AG，
∴点H为AG的中点.
在△ADG中，∵ DG∥BC且BC⊥AD，∴ DG⊥AD ，DH=AG=EF，
而EF = DH = DF – AE = ( DC – AB ) .
本题也有多种证法，不再例举.
8、在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,证明：EF≥1.

在证明本题之前，我们也来看一条大家比较熟悉的问题：在△AMN中，AM=AN，点E是AM上一点，点F是AN延长线上的一点，EF与BC相交于点D，且EM=FN，求证：ED=DF

证明：过点E作EG∥AF，交MN于点G，易证得：△EGD≌△FND，
∴ DE=DF

现在我们来证明原题.
证明：① 当E、F分别为AB、AC中点时：EF = BC = 1；
② 当E、F与不是AB、AC中点时：
取AB、AC中点M、N，连接MN，交EF于D，
∵AB=AC，∴AM=CN，又∵AE=CF，∴EM=FN，
由前面的说明可得：DE=DF.
过点E作EG∥MN，交AC于点H，过点F作FG⊥EG，垂足为G，连接GD、GN，在中，点D为EF中点，∴DG=DF，在Rt△FGH中，GN为斜边FH上的中线，故NG=NH，∴∠NGH=∠1=∠3=∠1，∴NG∥ME，又∵EG∥MN，
∴四边形EMNG是平行四边形，∴ EG=MN ，在△DEG中，DE+DG＞EG，
即：EF＞MN，∴EF ＞ 1 ，
综合 ①、②可得：EF≥1.
感觉这种方法较麻烦，不知老师们是否有更为简便的证法.（征集中）
9、△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求证：(1)GH∥BC;
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

证明：（1）延长AH、AG，交BC于点M、N，易证得：△ACH≌△MCH，故AH=HM，NA=CM
同理：AG=GN，BA=BN.
在△AMN中，GH∥MN，GH =MN，
（2）MH=BN+CM-BC=AB+AC-BC=9+14-18=5，∴GH=2.5
点评：有了角平分线，可以考虑构造全等三角形.
10、如果上面问题中，条件变成∠B、∠C的外角平分线呢？并给出具体论证.

证明：延长AF、AG与直线BC交于点D、E，
易证得：△ABF≌△DBF，∴ AF=FD，同理：AG=GE，∴FG∥BC，
FG=DE=(DB+BC+CE)= (AB+BC+CA)= (9+18+14)=20.5
11、过四边形ABCD的边AD、BC的延长线交点P作任意直线EF,且EP=PF,求证：不论EF的长度与位置如何，线段AE、BF的中点连线恒过某一定点.

借助于第六题前面的结论：任意四边形对边中点的连线一定互相平分.即两条连线的交点是它们的中点.如图四边形ABCD中，点M、P、N、R依次是AB、BC、CD、DA的中点，且MN与PR相交于点K，则点K是MN和PR的中点.

证明：取AB中点G，连接PG交MN于点O，由上面的证明可知，MN恒过AG的中点O.
点评：本题无需用四边形ABCD来延长BC、AD相交.直接用四边形EABF来说事即可.
本题与第六题均用到了同一个基本图例，这个基本图例来源于课本但又高于课本的基本要求.值得大家仔细体会，体会竞赛题的难度与课本要求的关系.
12、等腰直角三角形ABC中，∠ABC=900, 等腰直角三角形ADE中，∠ADE=900,M为EC中点，求证：BM=DM.

证明：以AB为轴将 △ABC翻折，得到 △ABF，连接EF，
以AD为轴将 △ADE翻折，得到 △ADG，连接CG，
在△CEF中，BM∥EF，BM=EF，同理：DM∥CG，DM=CG，
可简单证得 △AEF ≌ △AGC ，亦可理解成将△AEF绕点A旋转90°得到
△AGC.
∴EF=CG，且EF⊥GC
∴BM=DM.也还有BM⊥DM.
即△MBD也是一个直角三角形.
点评：本题与第五题是同一条题目的不同表现形式，都是将两个等腰直角三角形的一个锐角顶点重合，再将这两个等腰直角三角形，绕此公共顶点旋转，所构成的不同位置.当然，证明的方法都是一样的.
由于时间较紧，许多题的证法不一定最简便.只是抛砖引玉，希望有兴趣的老师一起交流.
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