2019年上海高考试卷+答案解析.doc

2019.6.7上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合，，则 。
2. 已知，且满足，求 。
3. 已知向量，，则与的夹角为 。
4. 已知二项式，则展开式中含项的系数为 。
5. 已知、满足，求的最小值为 。
6. 已知函数周期为1，且当，，则 。
7. 若，且，则的最大值为 。
8. 已知数列前项和为，且满足，则 。
9. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上
方，为抛物线上一点，，则 。
10. 某三位数密码，每位数字可在09这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有
两位数字相同的概率是 。
11. 已知数列满足（），若均在双曲线上，
则 。
12. 已知（，），与轴交点为，若对于图像
上任意一点，在其图像上总存在另一点（、Q异于），满足，且
，则 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，
则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
16. 已知，有下列两个结论：① 存在在第一象限，在第三象限；② 存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点A到平面的距离.

18. 已知，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在时有零点，求的取值范围.

19. 如图，为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，km，，，.
（1）求的长度；
（2）若km，求D到海岸线的最短距离.
（精确到0.001km）

20. 已知椭圆，、为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
（1）若直线垂直于x轴，求；
（2）当时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；
（3）若直线交y轴于M，直线交y轴于N，是否存在直线l，使得，
若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

21. 数列有100项，，对任意，存在，
，若与前n项中某一项相等，则称具有性质P.
（1）若，，求所有可能的值；
（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P；
（3）若中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c表示.

参考答案
一、填空题
1、 2、 3、 4、 5、
6、 7、（提示：，∴）
8、 9、
10、（分析：，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×选用一次的数字）

11、（解析：法一，由条件有，得，则，所以；）
（解析：法二（极限法），当时，与渐近线平行，在轴投影为1，渐近线斜角满足：，∴）
12、（分析：，解得，则，取，则：，因为满足，且，则，
所以，Q点在图像上，则，得，，，所以，）

二. 选择题
13、D 14.、B
15、C（分析：，因为为偶函数，所以，且也为偶函数，所以，当时，）
16、D（分析：特殊值验证，取，则，所以② 正确，再取几组验证，① 错）

三、解答题
17、（1）；（2）.
【解析】（1）连接AC，，则即为直线与平面的夹角。
在中，，则；
（2）法一，等体积法：，
有条件易得：
∴ ，

∴
∴ 。
法二，建立空间直角坐标系，

设，则
，得
令，则，
所以。

18、（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，则得：
，化简：，解得；
（2）由条件知，对，有零点，则在时有解；在单调递增，则。

19、（1） km；（2）35.752km.
【解析】（1）∠BCD=180°-22°-68°=90°，则：
km；
（2）作DH⊥AB于点H，在△ABD中，
，即
∴，则
∴km
由（1）知： km
所以D到海岸线的最短距离为35.752 km。

20.（1）；（2），；（3）.
【解析】（1）
（2）由条件有：，设直线方程：。，
当时，，得：，化简：
……① ，因为在椭圆上，所以……②
联立① 、② 式，解得：，即，
所以，直线方程为：
联立得：，则，，即。
（3）直线方程：，则与轴交点为：
同理，，则

由得：
所以得：
所以或
联立得：，则：
，
∴
若，解得
若，解得（舍）
综上，存在满足条件的直线：，即。

21、（1）3、5、7；（2）见解析；（3）.
【解析】（1），
或
或或或
∴3、5或7。
（2）证明：假设数列中不存在某些项具有性质P，即中的项互不相等。
∵，，
∴，，，……，
所以，为等差数列，与条件矛盾。假设不成立
综上，数列中存在某些项具有性质P。
（3）由题意，可设具有性质P的三项为：，。
例如：满足条件。
所以与其他97项组成等差数列，首相为，公差为。则：