基于波动光学的虹与霓最佳观测角的理论研究.pdf

基于波动光学的虹与霓最佳观测角的理论研究梁明贵杨振军邸冰张书敏(河北师范大学物理学院河北 石家庄 )(收稿日期:)摘要:虹与霓的最佳观测角是观测到虹与霓现象最明显的观测角已有的研究表明,虹与霓观测角对入射角的极值就是最佳观测角根据波动光学原理,分析了任意入射角下产生虹或霓的光束进入眼睛的光能量流的大小,并计算得到了在观测角的极值位置时光能量流最大,从而验证了上述结论,并在此基础上做了简要分析关键词:虹;霓;观测角;光能量流引言雨过天晴,天空中可能会出现一道薄如绸带的弧形彩色光谱,人们将这种自然现象称之为“彩虹”彩虹其实是一级虹,简称虹,除了一级虹,自然界中还存在二级虹、三级虹等高级虹,它们是太阳光在空气中的水珠表面反射和折射的结果然而,高级虹一般亮度都比较弱,人眼难以观察到因此,一般在自然界中观察到的往往是一级虹和二级虹二级虹通常又被称为霓根据虹与霓的反射和折射原理可以测量液滴折射率和尺寸,因此对虹与霓现象的研究具有实际意义从虹或霓的某个特殊观测角观测,它的亮度最大,也就能最清晰地观测到,我们把这个观测角叫做虹或霓的最佳观测角许多人对此做出了优秀的研究工作,他们认为虹与霓的最佳观测角就是观测角对入射角的极值,由此确定了虹的观测范围是 ,霓的观测范围是 本文从波动光学的角度验证了这个结论的合理性选取任意某个波长的可见光,考虑到进入人眼的光能流越大则人感知到的亮度越大,利用MAT L A B计算进入人眼的光能流最大时对应的观测角,就是形成虹或霓时该波长光的最佳观测角对比最佳观测角与观测角的极值,得出它们在数值上相等,由此从理论上验证了虹或霓观测角的极值就是最佳观测角虹与霓产生原理的简要分析将空气中的水珠近似为球形,当太阳光照射到水珠的上半部分时,在水珠内部经过了一次反射,可能会形成虹,如图所示,为虹的观测角图形成虹的光路示意图由几何关系和折射定律易得 a r c s i ns i nn()当太阳光照射到水珠的下半部分时,在水珠内部经过两次反射,可能会形成霓,如图所示,为霓的观测角 年第 期物理通报物理与生活河北省高等教育教学改革研究与实践项目,项目编号:G J J G ;河北师范大学教学改革研究项目,项目编号:X J J G ,X J J G 作者简介:梁明贵(),男,在读本科生通讯作者:杨振军(),男,博士,副教授,主要研究方向为非局域空间光孤子、激光光束的传输与变换、超短激光脉冲等图形成霓的光路示意图由几何关系和折射定律易得 a r c s i ns i nn()另外,可见光的波长在 nm之间,并且水对可见光中波长较长的光波折射率较小因此,结合式()和式()可知:当入射角一定时,虹的观测范围下限和上限可由波长较短的紫光和波长较长的红光的观测角给出,霓的观测范围下限和上限由此时的红光和紫光的观测角给出因此,本文以波长为 nm的红光和波长约为 nm的紫光为例进行分析,得出了虹与霓的观测范围最佳观测角的理论计算方法对于任意某个波长的太阳光,当人眼以某个特殊的观测角观测虹或霓现象时,光对人眼瞳孔的光能流最大,此时人感知到的光亮度最大,则观测到的虹或霓现象最为明显我们可以认为这时的观测角就是虹或霓现象中该波长光的最佳观测角因此,分析形成虹或霓的太阳光对瞳孔的光能流随入射角的变化关系,即可得到虹或霓的最佳观测角太阳光由一种介质(折射率为n)进入另一种介质(折射率为n)发生折射和反射时,设折射角和反射角分别为i和i在光的电磁理论中,透射率是透射光束与入射光束的能量流之比,反射率是反射光束与入射光束的能量流之比光在两介质分界面上发生反射和折射时,其p分量(平行于入射面分量)和s分量(垂直于入射面分量)的反射率Rp、Rs和透射率Tp、Ts分别为Rpt a nii()t a nii()()Rss i nii()s i nii()()Tpnc o sinc o si c o sis i nis i nii()c o sii()()Tsnc o sinc o si c o sis i nis i nii()()先对虹进行分析由于太阳光是自然光,假设其强度为I,则入射光中p分量和s分量各占一半的能量,则图中的出射光束(C点之后的光束)强度I为I,n()ITpARpBTpCTsARsBTsC()()式()中涉及的透射率和反射率可以将图中A、B、C点的情况代入得到由于、n、中只有两个变量是独立的,因此,可以将I看作、n的函数雨后空气中水珠的半径约 mm,人眼瞳孔半径约rm mm,它们都远小于虹的平均高度约h m,所以可以将地面上观测者的瞳孔视为一个半径为rm的圆平面,并可以将水珠视为一个向四周不均匀发光的点光源于是,图示意了水珠(点光源)发出的某条光束传播到P点的情形图水珠(点光源)对瞳孔光照的示意图图中,是O点与水珠连线和P点与水珠连线的夹角,与r、的关系是r,()a r c t a nrs i nh()于是,形成虹时,水珠(点光源)发出的光通过人眼的光能流可表示为,n()rmI,n()c o sr,()rdr()考虑到rh导致c o s,将式()近似化为,n()rmm I,n()d()式()中的m是rrm时对应的的值式()表示将某个观测角附近m角度的光束都看作是垂直于瞳孔入射并类比电场强度通量的定义:取电场线的数密度等于场强的大小,则通过这一平 年第 期物理通报物理与生活面的电场线总 数即是通 过该平 面 的 电 场 强 度 通量我们可以把该范围内的光束分为大量足够细小的光束,对每条细光束携带的能量进行求和,再乘以瞳孔面积rm,就可以得到式()的近似值,这个计算我们用MAT L A B来完成对于霓,同理可得光能流,n()的近似式为,n()rmm I,n()d()在式()中,出射光束(图中D点之后的光束)的强度I,n()为I,n()I(TpARpBRpCTpDTsARsBRsCTsD)()在式()中涉及的透射率和反射率可以将图中A、B、C、D点的情况代入得到验证过程若虹或霓观测角的极值 m或 m与第节中我们定义的最佳观测角 m或 m在数值上相等,则可以验证虹或霓观测角的极值就是最佳观测角这一结论的合理性文献 指出,水对红光 nm和紫光 nm的折射率分别为nr e d 和np u r 下面以这两种波长的光为例对虹与霓分别进行验证,我们使用的验证方法对其他波长的光同样适用 虹的最佳观测角分别将nr e d 和np u r 代入式()并用MAT L A B绘制归一化的的图像如图和图所示图形成虹的 nm红光对人眼光能流的相对值随入射角的变化图由图可见,对于红光 nm,当在 附近时,的值会显著增大,当 时取最大值将 和nr e d 代入式()得m r e d ()图形成虹的 nm紫光对人眼光能流的相对值随入射角的变化图由图可见,对于紫光 nm,当 时取最大值将 和np u r 代入式()得m p u r ()现在计算形成虹的任意确定波长可见光(水对其的折射率n也随之确定)的观测角极值m对式()求的偏导数得 c o sns i n()令其为零解得 ma r c c o sn()再代入式()得到 m a r c s i ns i n mn m()分别将nr e d 和np u r 代入式()得到相应观测角对入射角的极值为 m r e d ()m p u r ()对比式()和()、式()和()可知,m r e d m r e d,m p u rm p u r类似的,可以选取任意其他波长的可见光进行验证,可以得到同样的结论,因此,虹的最佳观测角为观测角对入射角的极值这一结论是合理的另外,红光的最佳观测角可以给出虹的观测 年第 期物理通报物理与生活范围上限,紫光可以给出下限,所以,虹的观测范围是 ()此结果与广为人知的虹的观测角范围 相符 霓的最佳观测角分别将nr e d 和np u r 代入式()并用MAT L A B绘制归一化的的图像如图和图所示图形成霓的 nm红光对人眼光能流的相对值随入射角的变化图由图可见,对红光 nm,当 时取最大值将 和nr e d 代入式()得m r e d ()图形成霓的 nm紫光对人眼光能流的相对值随入射角的变化图由图可见,对紫光 nm,当 时,取最大值将 和np u r 代入式()得m p u r ()现在计算形成霓的任意确定波长可见光(水对其的折射率n也随之确定)的观测角极值 m对式()求的偏导数得 c o sns i n()令其为零解得 ma r c c o sn()再代入式()得到 m m a r c s i ns i n mn()分别将nr e d 和np u r 代入式()得到相应观测角对入射角的极值为 m r e d ()m p u r ()对比式()和()、式()和()可知,m r e d m r e d,m p u r m p u r类似的,可以选取任意其他波长的可见光进行验证,可以得到同样的结论,因此,霓的最佳观测角为观测角对入射角的极值这一结论是合理的另外,红光可以给出霓的最佳观测角的下限,紫光给出上限,所以,霓的观测范围是 ()此结果与广为人知的霓的观测角范围 相符讨论无论是虹还是霓,它们的最佳观测角都在观测角对入射角的极值处取到,我们对这个结果进行了简要分析图以太阳光中 nm的红光为例示意了虹与霓的观测角随入射角的变化情况图虹与霓观测角和入射角的关系图 年第 期物理通报物理与生活图表明了观测角在极值点附近随入射角的变化最缓慢结合图分析,当人以某个观测角观测虹或霓现象时,进入人眼的光束实际上是该观测角附近小角度的光束,所以当观测角取极值时,对应会有更多的入射光束经过一系列折射和反射进入人眼即便水珠(点光源)向各个方向发出的每条光束携带的能量大小不同,但占主导地位的是范围内光束的数量,而不是每条光束的能量所以在观测角取极值时,形成虹或霓的光束对人眼的光能流最大,使此时的虹或霓的现象最明显结束语本文在波动光学的理论下,对虹或霓现象,选取任意波长的光,利用MAT L A B绘制了进入人眼的光能流和入射角的图像,得出了光能流取最大值时对应的观测角,即最佳观测角将最佳观测角与观测角对入射角的极值进行比较,得出了虹或霓最佳观测角和观测角的极值在数值上相等,从理论上验证了虹或霓观测角的极值就是最佳观测角这一结论的合理性,并对这个结论进行了简要讨论参 考 文 献WANG X i a o h a o,W u Y i n g c h u n,L y u Q i m e n g,e t a l S e c o n d a r yr a i n b o wr e f r a c t o m e t r yf o rd r o p l e t r e f r a c t i v ei n d e xa n ds i z em e a s u r e m e n tJO p t i c sa n dL a s e r si nE n g i n e e r i n g,:C AO Y a y u a n,WANGW e n t i n g,YUH a i t a o,e t a l C a m e r o n T r o p e a C h a r a c t e r i z a t i o no fr e f r a c t i v ei n d e xa n ds i z eo fas p h e r i c a ld r o pb yu s i n gG a u s s i a nb e a ms c a t t e r i n g i nt h e s e c o n d a r yr a i n b o wr e g i o nJJ o u r n a lo fQ u a n t i t a t i v eS p e c t r o s c o p y&R a d i a t i v eT r a n s f e r,:张文慧,张协成虹的几何光学原理初探J物理教学,():顾建元人类对虹霓 现象 认识 的 初探J物理 教师,():谭少轩虹霓现象的物理本质研究J西安文理学院学报(自然科学版),():姚 启 钧光 学 教 程 M 版北 京:高 等 教 育 出 版社,郁道银,谈恒英工程光学M 版北京:机械工业出版社,梁 铨 延物 理 光 学 M 版北 京:电 子 工 业 出 版社,程守洙,江之永普通物理学上册M 版北京:高等教育出版社,姜良广,孙鹏水的折射率与波长间函数关系的模型J辽宁大学学报(自然科学版),():T h e o r e t i c a l S t u d yo nt h eO p t i m a lO b s e r v a t i o nA n g l eo fR a i n b o wa n dS e c o n d a r yR a i n b o wB a s e do nW a v eO p t i c sL I AN G M i n g g u i YAN GZ h e n j u n D IB i n g Z HAN GS h u m i n(C o l l e g eo fP h y s i c s,H e b e iN o r m a lU n i v e r s i t y,S h i j i a z h u a n g,H e b e i )A b s t r a c t:T h eb e s to b s e r v a t i o na n g l eo fr a i n b o wa n ds e c o n d a r yr a i n b o wi st h e m o s to b v i o u so b s e r v a t i o na n g l ew h e nr a i n b o w a n ds e c o n d a r yr a i n b o w p h e n o m e n aa r eo b s e r v e d T h ee x i s t i n gr e s e a r c hs h o w st h a tt h ee x t r e m ev a l u eo ft h eo b s e r v a t i o na n g l eo fr a i n b o wa n ds e c o n d a r yr a i n b o wt ot h ei n c i d e n c ea n g l ei st h eb e s to b s e r v a t i o na n g l e A c c o r d i n g t o t h ep r i n c i p l eo fw a v e o p t i c s,t h e s i z eo f t h e l u m i n o u s e n e r g y f l o wo f t h e l i g h tb e a mg e n e r a t i n gr a i n b o wo rs e c o n d a r yr a i n b o wi n t ot h ee y e sa ta n yi n c i d e n c ea n g l ei sa n a l y z e d,a n dt h e m a x i mu mo p t i c a le n e r g yf l o wi sc a l c u l a t e da tt h ee x t r e m ep o s i t i o no ft h eo b s e r v a t i o na n g l e,w h i c hv e r i f i e st h ea b o v ec o n c l u s i o n,o nt h i sb a s i s,ab r i e f a n a l y s i s i sm a d e K e yw o r d s:r a i n b o w;s e c o n d a r yr a i n b o w;b e s to b s e r v a t i o na n g l e;l i g h t e n e r g yf l o w 年第 期物理通报物理与生活