2021-2022学年高中数学-第三章-不等式-4.3-简单线性规划的应用教案-北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.3 简单线性规划的应用教案 北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.3 简单线性规划的应用教案 北师大版必修5

年级：
姓名：

4.3　简单线性规划的应用

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 关键能力·合作学习
类型一　费用最少问题(数学建模)

1.(2020·大同高一检测)某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为 (　　)
A.2 400元 B.2 560元 C.2 816元 D.4 576元
2.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 (　　)
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 800元
3.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪,1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg 脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B各多少千克?
将已知数据列成下表:
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
【解析】1.选B.设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,则目标函数z=320x+504y,作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:

作直线320x+504y=0,并平移,分析可得当直线过点(8,0)时,z取得最小值,
即zmin=8×320+0×504=2 560元.
2.选B.设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,
根据题意,得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值,
可行域如图阴影部分(含边界)所示,

解得当时,z有最小值,故zmin=2 200(元).
3.设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么
⇒
目标函数为z=28x+21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,

把目标函数z=28x+21y变形为y=-x+,
它表示斜率为-,且随z变化的一组平行直线,
是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小.如图可见,当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小.
解方程组得M点的坐标为.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A kg,食物B kg.

　解答线性规划实际应用题的基本思路
(1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型.
(2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案.
类型二　获利最大问题(数学建模)
【典例】(2020·绵阳高一检测)某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为 (　　)

甲
乙
每天原料的可用总量
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
四步
内容
理解
题意
设甲、乙产品每天的产量分别为x,y,则可表示出每天利润表达式.
思路
探求
根据条件列约束条件与目标函数,作出对应可行域,结合图像确定最大值取法,即得结果.
书写
表达
选D. 设每天甲、乙产品的产量分别为x吨,y吨.由已知可得目标函数z=3x+4y,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,

可得目标函数在点P处取得最大值,
由得P(2,3),则zmax=3×2+4×3=18(万元).
题后
反思
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

　解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.

　某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1吨,需矿石4吨,煤3吨;生产乙种产品1吨,需矿石5吨,煤10吨.每1吨甲种产品的利润是16万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中,要求消耗矿石不超过20吨,煤不超过30吨,则甲、乙两种产品应各生产多少,才能使利润总额达到最大?最大利润是多少?
【解析】设甲乙两种产品分别生产x吨,y吨,利润为z万元,
则线性约束条件为
线性目标函数为z=16x+12y,作出可行域,如图(包括坐标轴),

令z=0,得直线l0:y=-,
平移直线l0到直线l1,此时经过点A(5,0).
将该点的坐标代入目标函数得zmax=80(万元).
所以当甲种产品生产5吨,乙种产品生产0吨,才能使利润总额达到最大,最大利润是80万元.
【补偿训练】
　　某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 (　　)
A.36万元 B.31.2万元
C.30.4万元 D.24万元
【解析】选B.设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则z=0.4x+0.6y.

由图像知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.
所以zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).
类型三　线性规划中的整数解问题(数学建模、数学抽象)
【典例】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示:
规格类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
【思路导引】先设出变量x,y,z,再找出线性约束条件以及目标函数,利用线性规划求出最值,最后得出实际问题的结论.
【解析】设需第一种钢板x张,第二种钢板y张,钢板总数z张,
则目标函数z=x+y.
作出可行域如图所示,作出直线x+y=0.作出一族平行直线x+y=t(其中t为参数).

经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A,直线方程为x+y=.
由于和都不是自然数,而最优解(x,y)中,x,y必须都是自然数,所以,可行域内点不是最优解.
经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是x+y=12,得
y=-x+12,代入
得即
所以3≤x≤4.5,由于x∈N,则x=3或x=4,此时y=9,y=8,故经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
所以要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.

　线性规划中最优解为整数的三种解法
(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.
(2)小范围搜寻法:即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值.
(3)调整优值法:先利用平行线组经过关键点时的直线方程的可行解作为参照值,根据图形信息进行“微调”估值得最优整数值,再代入线性约束条件中的相关二元一次不等式求解,直到取得最优解,这是既容易操作又十分简捷有效的解题方法.

1.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件4元,乙每件7元,甲商品每件卖出去后可赚1元,乙商品每件卖出去后可赚1.8元.若要使赚的钱最多,那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为 (　　)
A.7件,3件　 B.9件,2件
C.4件,5件　 D.2件,6件
【解析】选D.设甲、乙各买x,y件,总利润为z元.则目标函数为z=x+1.8y,约束条件为
作出可行域为如图所示阴影部分对应的整点,

由z=x+1.8y,得y=-x+,斜率为->-,
所以,由图可知直线过点A时,z取得最大值.又x,y∈N,所以点A不是最优解,点(7,3),(2,6),(9,2)都在可行域内,
逐一验证可得,当x=2,y=6时,z取得最大值.
2.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表:

每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 (　　)
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
【解析】选B.设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,
则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.
此时x,y满足条件

画出可行域如图,得最优解为A(30,20).
3.(2020·石家庄高一检测)某校“棋乐无穷”社团计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的象棋和围棋.根据需要,象棋至少买3盒,围棋至少买2盒,则不同的选购方式共有 (　　)
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
【解析】选C. 设购买象棋x盒,围棋y盒.
由题意得即
①当x=3时,7y≤32,y≤<5,因为y∈N*,且y≥2,
所以y=2或y=3或y=4,此时有3种选购方式.
②当x=4时,7y≤26,y≤<4,因为y∈N*,且y≥2,
所以y=2或y=3,此时有2种选购方式.
③当x=5时,y≤<3,因为y∈N*,且y≥2,所以y=2,此时有1种选购方式.
④当x=6时,y≤2,因为y∈N*,且y≥2,所以y=2,此时有1种选购方式.
⑤当x=7时,y≤,因为y∈N*,且y≥2,所以y无解;
因为y∈N*,且y≥2,所以x≥7,x∈N*时,y均无解;
所以共有7种选购方式.
【补偿训练】
　　配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3 mg,乙料5 mg;配一剂B种药需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg,乙料25 mg,若A,B两种药至少各配一剂,共有配制方法 (　　)
A.6种　　　B.7种　　　C.8种　　　D.9种
【解析】选C.设A,B两种药分别配x剂、y剂(x,y∈N),
则不等式组的解集是以直线x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25为边界(含边界)所围成的区域,
这个区域内的整点为点(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).
所以,在A,B两种药至少各配一剂的情况下,共有8种不同的配制方法.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课堂检测·素养达标
1.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种教学用品每件100元,B种教学用品每件160元,两种教学用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B两种教学用品应各买的件数为 (　　)

A.2件,4件　 B.3件,3件
C.4件,2件 D.不确定
【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),
用图解法求得整数解为(3,3).
2.(2020·成都高一检测)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟,那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间,能使公司获得最大的收益是　　　万元 (　　) 
A.72 B.80 C.84 D.90
【解析】选B.设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x,y分钟,总收益为z元,
则由题意可得
目标函数为z=4 000x+2 000y,化简得,
在平面直角坐标系内,画出可行域,如图所示:

作直线l:4 000x+2 000y=0,即2x+y=0,平行移动直线l,
当直线l过M点时,目标函数取得最大值,
联立解得x=100,y=200,
所以M点坐标为(100,200),
因此目标函数最大值为zmax=4 000×100+2 000×200=800 000.
3.(教材二次开发:习题改编)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:

a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为　　　　(百万元). 
【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,购买铁矿石的总费用为z百万元.
则根据题意得到约束条件为:
即
则z=3x+6y,作出可行域.如图,

解方程组得点P的坐标为(1,2),
当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为:
zmin=3×1+6×2=15.
答案:15
4.(2020·承德高一检测)某饮料厂生产A,B两种饮料.生产1桶A饮料,需该特产原料100公斤,需时间3小时;生产1桶B饮料,需该特产原料100公斤,需时间1小时,每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍,每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤,每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间,每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍,若该饮料厂每天生产A饮料m桶,B饮料n桶时(m,n∈N*)利润最大,则m+n=　　　　. 
【解析】设每天A,B两种饮料的生产数量分别为x桶,y桶,
则有

则其表示的可行域如图中阴影部分所示,

设B饮料每桶利润为1,
则目标函数为z=1.5x+y,
则y=-1.5x+z,z表示直线在y轴上的截距,
因为x,y只取整数,所以当直线y=-1.5x+z经过点(4,3),
即m=4,n=3时,z取得最大值,故m+n=7.
答案:7
5.为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前,已有a人在排队等候购票;开始售票后,排队的人数平均每分钟增加b人.假设每个窗口的售票速度为c人/min,且当开放2个窗口时,25 min后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完);若同时开放3个窗口,则15 min后恰好不会出现排队现象.若要求售票10 min后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口?
【解析】设需要同时开放x个窗口,则有
由①②得c=2b,a=75b.
代入③得75b+10b≤20bx,
所以x≥,又x∈N,
所以至少同时开5个窗口才能满足.