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2021年高考数学高分秘籍 概率与统计2021年高考数学高分秘籍 概率与统计年级：姓名：概率与统计1从分别写有1，2，3的3张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A23 B13C59 D49【答案】B【解答】：从分别写有1，2，3的3张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=33=9，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），共3个，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为p=39=13故选：B1古典概型的概率求解步骤：2古典概型基本事件个数的确定方法（1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型（2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法（3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求（4）运用排列组合知识计算2将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A13 B23C25 D35【答案】B【解答】：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A=x|&0x6&x2(6-x)或6-x2x=x|0x2或4x6，P（A）=23，故选：B几何概型1设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l上的概率P=2当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为度量区域来计算概率3求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解4对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解3奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件 甲分得红色 与“乙分得红色”是A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 不是互斥事件【答案】 C【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件故选：C互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件4下列说法中正确的是A任一事件的概率总在（0，1）内B不可能事件的概率不一定为0C必然事件的概率一定为1D概率为0的事件一定是不可能事件【答案】C【解析】必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，不确定事件的概率在故A，B错误；概率为0的事件可能是随机事件，如在任意实数中任取一个数，恰好为2，概率为0，可能发生，是随机事件；又如在圆上任取一点，恰好为圆心，概率是0，可能发生，是随机事件，故D错误故选C概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0P（A）1（2）必然事件的概率P（E）=1（3）不可能事件的概率P（F）=0（4）概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（AB）=P（A）+P（B）注意：互斥事件的概率加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”，否则不可用（5）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1注意：对立事件的概率公式使用的前提是“事件A，B必须是对立事件”，否则不能使用5甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中率均为p，乙每次投篮命中的概率均为12，甲投篮3次均未命中的概率为127，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响（1）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望【解答】：（1）甲每次投篮命中率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为127，（1p）3=127，解得p=23，甲投篮3次，至少命中2次的概率：P=（23）3+C32(23)2(13)=2027（2）甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=（12）2（13）2=136，P（X=1）=C21(12)(12)(13)2+（12）2C21(23)(13)=636，P（X=2）=（12）2（13）2+（12）2（23）2+C21(12)(12)C21(23)(13)=1336，P（X=3）=（12）2C21(23)(13)+C21(12)(12)(23)2=1236，P（X=4）=(12)2(23)2=436，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P13663613361236436X的数学期望E（X）=0136+1636+21336+31236+4436=73求离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验；（5）根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算6某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是A互联网行业从业人员中90后占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%=9.52%，比80前多，所以该选项正确.对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%=9.52%，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.故选：D.能正确分析饼状图，条形图，柱状图，折线图的，是解决该类问题的主要方法.7某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.独立性检验的一般步骤：i)根据样本数据列出列联表；ii)计算随机变量的观测值，查下表确定临界值：iii)如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”.1从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A. 至少有一个白球，都是白球B. 至少有一个白球，至少有一个黑球C. 恰有一个白球，恰有两个白球D. 至少有一个白球，都是黑球【答案】C1求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法解此类问题，先根据已知分析出所给的两个事件是互斥事件，还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算2求复杂的互斥事件的概率的方法（1）直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率（2）间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P（A）=1P（）求解特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便2秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P（0）=710（）求选该艺术课程的学生人数；（）写出的概率分布列并计算E【解答】：（）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有7x人，则只会一项的人数是72x人，P（0）=P（1）=1P（=0）=710，P（=0）=310，即C7-2x2C7-x2=310，解得x=2，选该艺术课程的学生人数共有5人（）由题意知的可能取值为0，1，2，P（=0）=C32C52=310，P（=1）=C21C31C52=35，P（=2）=C22C52=110，的概率分布列为： 0 1 2 P31035110E=0310+135+2110=45求超几何分布的均值与方差的方法（1）列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；（2）利用公式E（X）=，D（X）=求解3甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望【答案】（1）（2）分布列详见解析，【解析】设Ak，Bk分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P（Ak）=，P（Bk）=，其中k=1，2，3（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P（C）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=P（A1）+P（）P（）P（A2）+P（）P（）P（）P（）P（A3）=+（）2（）2+（2）的所有可能取值为1，2，3，且P（=1）=P（A1）+P（B1）=+，P（=2）=P（A2）+P（B2）=+（）2（）2=，P（=3）=P（）=（）2（）2=综上知，的分布列为123P所以E（）=1+2+3相互独立事件的概率的求法（1）直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）间接法：正面计算较烦琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算4.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队取胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互没有影响求：（1）甲队3：0获胜的概率；（2）设本场比赛结束所需的比赛局数为，求随机变量的分布列【解答】：（1）甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束P=C33（0.6）3=27125（2）的所有取值为3，4，5，P（=3）=C33（0.6）3+C30（0.6）0（0.4）3=27125+8125=725=0.28，P（=4）=C32（0.6）2（0.4）（0.6）+C32（0.4）2（0.6）（0.4）=0.3744，P（=5）=C42（0.6）2（0.4）2(0.6+0.4)=0.3456，的分布列为：345P0.280.37440.34561n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作k个A事件与（nk）个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk（1p）nk（其中p为在一次试验中事件A发生的概率）.因此，n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为pk（1p）nk2写二项分布时，首先确定随机变量X的可能取值，然后用公式P（X=k）=pk（1p）nk计算概率即可3若离散型随机变量XB（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1p），即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式5某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为A0.86B0.64C0.36D0.14【答案】D【解答】：学生成绩服从正态分布，故选：D1对于正态分布N（，2），由x=是正态曲线的对称轴知（1）P（x）=P（x）=05；（2）对任意的a，有P（X+a）；（3）P（Xx0）=1P（Xx0）；（4）P（aXb）=P（Xb）P（Xa）2服从N（，2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法（1）利用P（X+），P（2X+2），P（30，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心 x,y，故正确；对于C，因为回归方程为 y=0.85x-85.71，所以该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg，故正确；对于D，x=170cm 时，y=0.85170-85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为 58.79kg，故不正确故选：D11.D【解析】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于 1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大故选：D12.D【解析】对平均数和方差的意义深入理解可巧解因为每个数据都加上了 100，故平均数也增加 100，而离散程度应保持不变故选：D13.6【解答】：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，总体容量为6+12+18=36当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n366=n6，篮球运动员人数为n3612=n3，足球运动员人数为n3618=n2，n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n+1，35n+1必须是整数，n只能取6即样本容量n=6故答案为：614.3.1【解答】：由题意，x=2.5，代入线性回归方程为y=1.3x1，可得y=2.25，0.1+1.8+m+4=42.25，m=3.1故答案为3.115.13【解答】：甲摸到白球后，袋中还有4个红球，2个白球，故而在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率为26=13，故答案为：1316.13【解答】：从10件产品任取3件的取法共有C103，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为C42C61，C43因此所求的概率P=C42C61+C43C103=13故答案为1317.14【解答】：B（n，p），E=3，D（2+1）=9，D=94，np=3，np（1p）=94得1p=34,p=14.故答案为：1418.【解答】：（1）各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，设公差为d，则由题意可得首项为22设总人数为n，则由5n=0.05，可得 n=100422+4(4-1)2d=100，d=2故各个班的人数为22、24、26、28（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的概率等于0.35+0.25+0.1+0.05=0.75（3）平均成绩为 750.05+850.20+950.35+1050.25+1150.10+1250.05=9819.【解答】：（1）由已知：x=6，y=10，i=15xiyi=242，i=15xi2=220，则 b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2yi-nx2=-1.45，a=y-bx=18.7，所以回归直线的方程为y=-1.45x+18.7（2）z=1.45x+18.7（0.05x21.75x+17.2）=0.052x2+0.3x+1.5=0.05（x3）2+1.95，所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值20.【解答】：（）这1000名会员中健步走的步数在3，5）内的人数为0.0221000=40；健步走的步数在5，7）内的人数为0.0321000=60；健步走的步数在7，9）内的人数为0.0521000=100；健步走的步数在9，11）内的人数为0.0521000=100；40+60+100+100=300所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人 （）按分层抽样的方法，在11，13）内应抽取3人，记为a1，a2，a3，每人的积分是90分；在13，15）内应抽取2人，记为b1，b2，每人的积分是110分；在15，17）内应抽取1人，记为c，每人的积分是130分； 从6人中随机抽取2人，有：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共15种方法 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有：a1b1，a1b