对数函数及其性质教案第二课时.doc

　对数函数及其性质（二）
教学过程
一、 复习引入：
1．对数函数的定义：
函数叫做对数函数，对数函数 的定义域为，值域为．
2、对数函数的性质：

a＞1
0＜a＜1
图
象

性
质
定义域：（0，+∞）．
值域：R．
过点（1，0），即当时，．
时 ．
时 ．
时 ．
时．
在（0，+∞）上是增函数．
在（0，+∞）上是减函数．
③
1． 函数y=x+a与的图象可能是__________
1
1
o
x
y
1
1
o
x
y
①
②
1
1
o
x
y
③
y
1
1
o
x
④

二、新授内容：
例1．比较下列各组中两个值的大小：
⑴； ⑵． （3）
解：⑴，，．
⑵，，．
小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小．
练习： 1．比较大小（备用题）
⑴； ⑵； ⑶ ．
例2．已知x =时，不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立，
求使此不等式成立的x的取值范围.
解：∵x =使原不等式成立. ∴loga[]＞loga
即loga＞loga. 而＜. 所以y = logax为减函数，故0＜a＜1.
∴原不等式可化为， 解得.
故使不等式成立的x的取值范围是
例3．若函数在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，
求a的值。 （）
例4．求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.
解：设0＜x1＜x2＜1，
则f (x2) – f (x1) = =
∵0＜x1＜x2＜1，∴＞1，＞1. 则＞0，
∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数
例5．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1).
（1）求f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明f (x)的单调性.
解：（1）由a＞1，a – ax＞0，而a＞ax，则x＜1. 故f (x)的定义域为(1, +∞)，
而ax＜a，可知0＜a – ax＜a， 又a＞1. 则loga(a – ax)＜lgaa = 1.
取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).
（2）设x1＞x2＞1，又a＞1， ∴＞，∴＜a＜，
∴loga (a –)＜loga (a –)，即f (x1)＜ f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数.
例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：
⑴； ⑵；
解：⑴∵对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R．
从而 即函数值域为．
⑵要使函数有意义，则须： ，
由 ∴在此区间内 ， ∴ ．
从而 即：值域为，
∴定义域为[-1,5]，值域为．
例8．（备选题）已知f (x) = logax (a＞0，a≠1)，当0＜x1＜x2时，
试比较与的大小，并利用函数图象给予几何解释.
【解析】因为
= 又0＜x1＜x2，
∴x1 + x2 – 2＞0， 即x1 + x2＞2， ∴＞1.
于是当a＞1时，＞0. 此时＞
同理0＜a＜1时＜
或：当a＞1时，此时函数y = logax的图象向上凸.
显然，P点坐标为，又A、B两点的中点Q的纵坐标为[ f (x1) + f (x2)]，
由几何性质可知 ＞.
当0＜a＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知＜0，
B
x1 x2
x
y
·
·
·
·
Q
A
(x1, f (x1))

(x2, f (x2))

此时＜

备选题
2．讨论函数在上的单调性．（减函数）
3.已知函数y=(2-)在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．
解：∵a＞0且a≠1,
当a＞1时， ∴1＜a＜2. 当0<a<1时， ∴0<a<1，综上述，0<a<1或1＜a＜2．

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