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2022届高考数学一轮复习 第五章 5.1 平面向量的概念及其线性运算学案

2022届高考数学一轮复习 第五章 5.1 平面向量的概念及其线性运算学案

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第一节　平面向量的概念及其线性运算

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．向量的有关概念

名称
定义
备注
向量
既有①________又有②________的量；向量的大小叫做向量的③________(或④________)
平面向量是自由向量
零向量
长度为⑤________的向量；其方向是任意的
记作⑥________
单位向量
长度等于⑦________的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向⑧__________或⑨________的非零向量

共线向量
________________的向量又叫做共线向量
0与任一向量
⑪________或共线
相等向量
长度⑫________且方向⑬________的向量

相反向量
长度⑭________且方向⑮________的向量
0的相反向量为0
2.向量的表示方法
(1)字母表示法：如a，等．
(2)几何表示法：用一条⑯____________表示向量．
3．向量的线性运算

向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

⑰____________法则

⑱______________法则
(1)交换律：
a＋b＝⑲____________.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝⑳________________.
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

____________法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝________.
(2)当λ＞0时，λa与a的方向______；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________
λ(μa)＝______________；
(λ＋μ)a＝________________；
λ(a＋b)＝________________.
二、必明3个易误点
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．
2．在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)向量就是有向线段．(　　)
(2)零向量没有方向．(　　)
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．(　　)
(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．(　　)
(5)若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　)
二、教材改编
2．设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝(　　)
A.　　B．2
C．3 D．4
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋ke2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．
三、易错易混
4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．[2021·山东青岛二中月考]如图所示，在△ABC中，AD＝AB，BE＝BC，则等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－

　平面向量的基本概念[自主练透型]
1．下列命题中正确的是(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
C．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

　悟·技法
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等向量：方向相同且长度相等.

考点二　向量的线性运算[自主练透型]
3．化简－＋－得(　　)
A. B. C. D．0
4．[2021·唐山统考]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
　悟·技法
　1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求.

考点三　平面向量共线定理的应用
[互动讲练型]
[例]　设两个非零向量a和b不共线．
(1)如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k, 使ka＋b和a＋kb共线．

悟·技法
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？

2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？

第五章　平面向量
第一节　平面向量的概念及其线性运算
【知识重温】
①大小　②方向　③模　④长度　⑤零　⑥0　⑦1个单位长度　⑧相同　⑨相反　⑩方向相同或相反　⑪平行　⑫相等　⑬相同　⑭相等　⑮相反　⑯有向线段　⑰三角形　⑱平行四边形　⑲b＋a　⑳a＋(b＋c)　三角形　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．解析：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，
则＋＋＋＝0＋＋＋＝2＝4.
答案：D
3．解析：∵a与b是共线向量，
∴存在实数t，有b＝ta，
即2e1＋ke2＝t(e1－2e2)，
则
解得：k＝－4.
答案：－4
4．解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
答案：A
5．解析：＝＋＝＋(－)＝－，故选D.
答案：D
课堂考点突破
考点一
1．解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
C正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
D错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
答案：C
2．解析：只有④正确．
答案：A
考点二
3．解析：因为－＋－＝＋＋＋＝0.
答案：D
4．解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋.
答案：B
考点三
例　解析：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线，又与有公共点B，所以A，B，D三点共线
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b，又a，b是两个不共线的非零向量，
所以所以k2－1＝0, 即k＝±1.
变式练
1．解析：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即＝4a＋(m－3)b.
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以
所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时两向量反向共线．