《数学通讯》问题614的妙解、推广与变式.pdf

2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究39数学通讯 问题 614 的妙解、推广与变式江西省贵溪市第四中学(335400)吴善祥摘要 本文探究 数学通讯 问题 614 的一个解法,并将a+b+c+d=5改成a+b+c+d=m,将a2+b2+c2+d2=7改成 a2+b2+c2+d2=n,做进一步探究,得到问题 614 的一个推广及其推广的两个变式.关键词 问题 614;妙解;推广;变式1 问题呈现数学通讯 2023 年第 6 期问题 6141给出了这样一个多元变量代数式的最值问题:已知实数 a,b,c,d满足:a b c d,a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求 ab cd 的最小值.笔者对该问题进行研究,得到该问题的一个妙解,并且通过深入探究,得到问题 614 的一个推广及其推广的两个变式.2 问题解答分析假设 a+b 13与(a+b)2+(c+d)2 3,然后由a2+b2+2ab=(a+b)2 9=2+a2+b2+c2+d2 2+a2+b2+2cd,便可得出 ab cd 1,即可求出 ab cd 的最小值.的斜率分别为k1,k2,则1+k21a2k21+b2=|GA|2|GB|GC|1+k22a2k22+b2.定理 3 已知动点 G(m,n)不在双曲线 C:x2a2y2b2=1(a,b 0)上,直线 AB 与双曲线 C 交于 A,B 两点,直线 AB与双曲线 C 交于 A,B两点,且 AB 与 AB的交点为 G.设直线 AB,AB的斜率分别为 k1,k2,则1+k21a2k21 b2=|GA|GB|GA|GB|1+k22a2k22 b2;进一步地,当|GA|GB|=|GA|GB|(为定值)时,1a2k21 b2a2k22 b2为定值 1a2+b2.注 显然,双曲线载体中也有以双切线,切割线为背景的斜率平方表达式,此处从略,感兴趣的读者可自行研究.5 几点说明5.1.定理 1、定理 2、定理 3 阐述了圆锥曲线中以相交弦和切割线为背景的线段长度乘积比值与两直线斜率间的逻辑关系,更进一步地,当 =1 时,易得 k1+k2=0,此时A,B,A,B四点共圆,因此上述三个定理及其推论可视为圆锥曲线中四点共圆定理的推广形式,不妨将其称为圆锥曲线的“圆幂定理”.5.2.基于圆锥曲线第二定义的统一性表述,若引入圆锥曲线的离心率,可将上述定理进行关联并作统一的抽象概括,具体如下:已知动点 G(m,n)不在圆锥曲线 C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0(A=B)上,过G分别作直线l1与曲线C 相交于A,B 两点及直线 l2与曲线 C 交于 A,B两点.设直线 GA,GA的斜率分别为 k1,k2,当|GA|GB|=|GA|GB|(为定值)时,有1k21+1 e2k22+1 e2为定值 1e2,其中 e 为圆锥曲线的离心率.同样地,对于过点 G 的双切线,双割线或切割线,上述结论仍成立.5.3.对于焦点在 y 轴的圆锥曲线,只需在论证过程中以1k代替 k 就能得到更多对偶的定理及推论,此处从略.6 结束语普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)在教学建议中强调:教师要加强学习方法指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯,敢于质疑、善于思考,理念概念、把握本质,数形结合、明晰算理,厘清知识的来龙去脉,建立知识之间的关联3.以解析几何中圆幂定理的探索与推广为例,教师日常解题教学活动中,要特别引导学生关注不同试题在数学背景上的逻辑关联性,引导学生在整体上理解,从系统中掌握所学知识,把握其通性通法,促使数学知识在逻辑上成为深度关联的整体,从而有利于学生形成相关数学命题或模型,进一步以高阶思维认识数学知识的结构与体系,从而促进学生培养好学科抽象思维.参考文献1 谢玉兰.圆幂定理在椭圆上的推广及其若干推论 J.中学数学研究,2018(08):26-27.2 陈波.从圆幂定理到圆锥曲线幂定理J.数学教学,2016(05):42-45.3 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.40中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)解 注意到ab+cd+ac+bd+ad+bc=12(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)=52 72=9.因为a b c d,所以(a d)(b c)0,(a b)(c d)0,从而 ab+cd ac+bd ad+bc,所以3(ab+cd)ab+cd+ac+bd+ad+bc=9,即 ab+cd 3,所以(a+b)2+(c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+cd)7+2 3=13.1若 a+b 3,则 2 c+d 6 a+b 3,从而 0 6(a+b)(c+d)1,所以(a+b)2+(c+d)2 2(a+b)(c+d)1.2因为 a+b+c+d=5,所以(a+b)2+(c+d)2+2(a+b)(c+d)=25.32+3得(a+b)2+(c+d)2 3,所以 a2+b2+2ab=(a+b)2 9=2+a2+b2+c2+d22+a2+b2+2cd.从而 ab cd 1,当且仅当 a=2,b=c=d=1 时取“=”.因此 ab cd 的最小值为 1.3 问题推广著名数学家波利亚曾说过:“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合.”2数学认识的根本目的是为了揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律,数学问题的一般化是数学创造的基本形式之一,数学问题的一般化主要表现在对问题的推广.笔者欲将问题 614一般化,将 a+b+c+d=5 改成 a+b+c+d=m,将a2+b2+c2+d2=7 改成 a2+b2+c2+d2=n,做了尝试性探究,得到当 n=m2+34且 m 1 时问题 614 的一个推广.推广已知实数 a,b,c,d 满足:a b c d,a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=m2+34,其中 m 1,求ab cd 的最小值.分析假设 a+b m2+12与(a+b)2+(c+d)2m+12 0,然后由a2+b2+2ab=(a+b)2(m+1)24=(m+1)24m2+34+a2+b2+c2+d2m 12+a2+b2+2cd,便可得出 ab cd m 14,即可求出 ab cd 的最小值.解 由于ab+cd+ac+bd+ad+bc=12(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)=3m2 38.因为 a b c d,所以(a d)(b c)0,(a b)(c d)0,从而 ab+cd ac+bd ad+bc,所以 3(ab+cd)ab+cd+ac+bd+ad+bc=3m2 38,即 ab+cd m2 18,所以(a+b)2+(c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+cd)1m2+34+2 m2 18=m2+12.若 a+b m+12,则m 12 c+d 6 a+b m+12,从而 0 6(a+b)(c+d)1,所以(a+b)2+(c+d)2 2(a+b)(c+d)1.2因为 a+b+c+d=m,所以(a+b)2+(c+d)2+2(a+b)(c+d)=m2.32+3得(a+b)2+(c+d)2 1,所以 a+b m+12 0,则a2+b2+2ab=(a+b)2(m+1)24=(m+1)24m2+34+a2+b2+c2+d2m 12+a2+b2+2cd.从而 ab cd m 14,当且仅当a+b=m+12,b=c,a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=m2+34,即 a=m+34,b=c=d=m 14时取“=”,因此 ab cd的最小值为m 14.4 变式探究波利亚说过:“解题就像采蘑菇,当我们发现一个蘑菇时,还应四处看看,它的周围可能还有一个蘑菇圈.”2笔者在探究问题 614 的一般化的过程中,发现在删除条件a b c d 时,还可以探究 a,b,c,d 的取值(范围).变式 1已知实数 a,b,c,d 满足:a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=n,求 d 的取值范围.解法1 构造函数f(x)=(x a)2+(x b)2+(x c)2,则 f(x)=3x2 2(a+b+c)x+a2+b2+c2=3x22(m d)x+nd2.因为f(x)0,所以1=4(m d)212(n d2)6 0,整理得 4d2 2md+m2 3n 6 0,2=4m2 16(m2 3n)=48n 12m2,当 2 0 即 n 0即n m24时,m 12n 3m246 d 6m+12n 3m24.综上,当 n m24时,d m 12n 3m24,m+12n 3m24.解法 2 因为 a2+b2+c2(a+b+c)23,a2+b2+c2=n d2,a+b+c=m d,所以 n d2(m d)23,整理得4d2 2md+m2 3n 6 0,下同解法 1.变式 2已知实数 a,b,c,d 满足:a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=m24,求 abcd 的值.解析由变式 1 知 d=m4,同理可得 a=m4,b=m4,c=m4,从而 abcd=(m4)4=m4256.参考文献1 张云华.数学问题 614J.数学通讯(上半月刊),2023(06):66.2 波利亚.怎样解题:数学思维的新方法 M.上海:上海科技教育出版社,2018.