2022版高考数学一轮复习-课时规范练20-两角和与差的正弦、余弦与正切公式新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练20 两角和与差的正弦、余弦与正切公式新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练20 两角和与差的正弦、余弦与正切公式新人教A版

年级：
姓名：

课时规范练20　两角和与差的正弦、余弦与正切公式
基础巩固组
1.(2020全国2,理2)若α为第四象限角,则(　　)

A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
2.已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=(　　)
A.12 B.32
C.-12 D.-32
3.(2020全国1,理9)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　)
A.53 B.23
C.13 D.59
4.(2020广东广州一模,理3)sin 80°cos 50°+cos 140°sin 10°=(　　)
A.-32 B.32
C.-12 D.12
5.若tan α=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(多选)下列各式中,值为32的是(　　)
A.2sin 15°cos 15°
B.1+tan15°2(1-tan15°)
C.1-2sin215°
D.3tan15°1-tan215°
7.(多选)已知函数f(x)=2cos22x+π6+3sin4x+π3,则下列判断正确的是(　　)
A.f(x)的周期为π
B.f(x)为偶函数
C.f(x)的图象关于直线x=π4对称
D.f(x)的值域为[-1,3]
8.(2020江苏,8)已知sin2π4+α=23,则sin 2α的值是　　　　. 
9.函数f(x)=sin 2xsinπ6-cos 2xcos5π6在-π2,π2上的单调递增区间为　　　　　　　. 
综合提升组
10.(多选)已知函数f(x)=sin2x+π4,若a=f(lg 5),b=flg 15,则(　　)
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5)
11.(2020山东潍坊临朐模拟二,6)若sinαcosα1-cos2α=14,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=(　　)
A.43 B.-43
C.3 D.-3
12.(2020东北三省四市模拟,理9)已知A(xA,yA)是圆心为坐标原点O,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA绕点O逆时针旋转2π3到OB交圆于点B(xB,yB),则2yA+yB的最大值为(　　)
A.3 B.2
C.3 D.5
13.(2020山东模考卷,14)已知cosα+π6-sin α=435,则sinα+11π6=　　　　　. 
14.函数f(x)=4cos2x2cosπ2-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为　　　　. 
15.(2020江苏南通三模,9)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12,若f(α)=26,则cosπ4-2α的值为　　　　. 
创新应用组
16.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=(　　)
A.15 B.55
C.255 D.1
17.(2020山东菏泽模拟)已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sin α-7tan 2α的值为　　　　. 

参考答案

课时规范练20　两角和与差的
正弦、余弦与正切公式
1.D　∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.
2.A　由三角函数定义,sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12.
3.A　原式化简得3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-23或cosα=2(舍去).∵α∈(0,π),∴sinα=1-cos2α=53.
4.D　由sin80°=sin(90°-10°)=cos10°,cos140°=cos(90°+50°)=-sin50°,所以sin80°cos50°+cos140°sin10°=cos10°cos50°-sin10°sin50°=cos60°=12,故选D.
5.C　因为tanα=2tanπ5,所以cos(α-3π10)sin(α-π5)=sin(α-3π10+π2)sin(α-π5)=sin(α+π5)sin(α-π5)=sinαcosπ5+cosαsinπ5sinαcosπ5-cosαsinπ5=tanα+tanπ5tanα-tanπ5=3tanπ5tanπ5=3.
6.BCD　对于选项A,2sin15°cos15°=sin30°=12;对于选项B,1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=32;对于选项C,1-2sin215°=cos30°=32;对于选项D,3tan15°1-tan215°=32·2tan15°1-tan215°=32tan30°=32.故选BCD.
7.BCD　f(x)=1+cos4x+π3+3sin4x+π3=1+2sin4x+π3+π6=1+2cos4x,∴f(x)为偶函数,周期为π2,故A错误,B正确;令4x=kπ(k∈Z),得x=kπ4(k∈Z),当k=1时,x=π4,故C正确;∵2cos4x∈[-2,2],∴f(x)的值域为[-1,3],故D正确.故选BCD.
8.13　∵cosπ2+2α=1-2sin2π4+α=1-2×23=-13.
又cosπ2+2α=-sin2α,
∴sin2α=13.
9.-5π12,π12　f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6=sin2xsinπ6+cos2xcosπ6=cos2x-π6.
当2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z),
即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,取k=0,得-5π12≤x≤π12,故函数f(x)在-π2,π2上的单调递增区间为-5π12,π12.
10.CD　f(x)=sin2x+π4=1-cos(2x+π2)2=1+sin2x2,∵a=f(lg5),b=flg15=f(-lg5),∴a+b=1+sin(2lg5)2+1-sin(2lg5)2=1,a-b=1+sin(2lg5)2-1-sin(2lg5)2=sin(2lg5),故选CD.
11.A　由题得sinαcosα1-cos2α=sinαcosα2sin2α=cosα2sinα=14,得tanα=2.由tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2,解得tanβ=0,又tan(β-α)=-tan(α-β)=-2,则tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=-2-21-2×2=43,故选A.
12.C　设射线OA与x轴正向所成的角为α,则xA=cosα,yA=sinα,xB=cosα+2π3,yB=sinα+2π3,所以2yA+yB=2sinα+sinα+2π3=2sinα-12sinα+32cosα=32sinα+32cosα=3sinα+π6≤3,当α=π3时,取得等号.故选C.
13.-45　∵cosα+π6-sinα=cosαcosπ6-sinαsinπ6-sinα=32cosα-32sinα=312cosα-32sinα=3cosα+π3=435,
∴cosα+π3=45.则sinα+11π6=sinα-π6=-cosα-π6+π2=-cosα+π3=-45.
14.2　令f(x)=4·1+cosx2·sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.

由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.
15.13　(方法1)f(x)=cosx(sinx+cosx)-12=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4,
因为f(α)=26,所以sin2α+π4=13,所以cosπ4-2α=cosπ2-2α+π4=sin2α+π4=13.
(方法2)f(x)=cosx(sinx+cosx)-12=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x,
因为f(α)=26,
所以sin2α+cos2α=23,
所以cosπ4-2α=cosπ4cos2α+sinπ4sin2α=22(cos2α+sin2α)
=22×23=13.
16.B　由题意可知tanα=b-a2-1=b-a,又cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=1-(b-a)21+(b-a)2=23,∴5(b-a)2=1,得(b-a)2=15,则|b-a|=55.
17.-39　因为角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),所以x=4a,y=3a,r=(4a)2+(3a)2=-5a,
所以sinα=3a-5a=-35,tanα=3a4a=34,所以tan2α=2tanα1-tan2α=2×341-(34) 2=247,所以25sinα-7tan2α=25×-35-7×247=-39.