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数值积分的计算方法论文 作者： 日期：11 个人收集整理 勿做商业用途摘 要本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导NewtonCotes公式和GaussLegendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序,通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较,从而研究了用Newton-Cotes和GaussLegendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时GaussLegendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，但当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。关键字：插值积分、NewtonCotes公式、Gauss-Legendre公式数值积分第1章 理论依据逼近论-构造一个简单函数p(x）近似表示f（x)，然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。1插值求积公式为了用数值方法求，对被积函数f（x）在给定的n+1个节点上作Lagrange插值，用插值函数Pn(x)代替f（x）,就可用I（Pn(x)构造求积公式，近似地计算定积分I（f（x)）。2NewtonCotes公式2。1NewtonCotes公式的推导当1。1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到NewtonCotes公式。将区间a，bn等分，n+1个节点为xk=a+kh (k=0，1,，n)在节点上对f（x)的Lagrange插值多项式是：用Pn（x）代替f(x）构造求积公式：记,（k=0,1,n)作代换x=a+th带入上式，变为:其中: （k=0，1,，n) （11）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间a,b无关。只要确定n就能计算出系数.于是得到称为NewtonCotes公式的求积公式： (12)其中称为NewtonCotes系数。如表1所示。表1 NewtonCotes系数n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/8402。2NewtonCotes公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x）代替f（x）的插值误差是因此，Newton-Cotes公式的截断误差是 （1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响,设（1-2)式近似计算其中计算函数值f(xn）有误差值(k=0,1,2， ,n）。在（12）式中令设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（12）式计算时引式的误差为如果皆为正，并设，则，故有界，即引起的误差受控制,不超过倍。保证了数值计算的稳定性。但当n8时,将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时NewtonCotes公式不能用。当n为偶数时，NewtonCotes积分公式具有n+1次代数精度。2。3经典NewtonCotes公式当n=4，5点公式称为经典NewtonCotes公式其中 (k=0,1,4),它具有5次代数精度。3 Gauss-Legendre求积公式在积分区间a,b内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。3.1计算n阶求积公式若有m次代数精度，对(k=0,1,）应有而.3.2 Gauss求积公式的基本原理更一般形式： (21）为权函数,设0，且在a，b上可积，构造n阶求积公式： (22)积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss点，（2-2）式称为Gauss求积公式。3。3 GaussLegendre求积公式求积分，权数=1，其中（i=0,1，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数为：（i=0，1,，n）具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节点个数，为积分点，为对应积分点的系数)。表二GaussLegendre公式的插值节点和系数对一般区间a,b上的积分，通过代换： 将转换到。再用GaussLegendre求积公式:进行积分求解第2章 问题描述用Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre求下列积公式计算积分，并比较结果： 第3章 问题分析题目给出的是用Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre求积分的问题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计算被积函数在积分区间0,1的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进行比较,得出关与NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求积公式精确度的结论.第4章 求解计算1NewtonCotes公式求解的Matlab程序1.1方法1:（1）在Matlab工作窗口中:fn=inline（2/（1+x.2）;y1=quad8（fn,0，1)运行结果为:y1=1。5078(2）在Matlab工作窗口中：fn=inline(（11/2（sin（x）)。2）。（1/2）；y2=quad8(fn,0,pi/2）运行结果为:y2 = 1。35061。2方法2：（1）建立M文件：function f=fn(x)f=2./(1+x.2)在Matlab工作窗口中调用函数：y1=quad8(fn，0,1)运行结果为y1=1。5078（2）建立M文件：function f=fn（x）f=（11/2（sin(x)。2)。（1/2）在Matlab工作窗口中调用函数：y2=quad8(fn，0,pi/2）运行结果为：y2 = 1。35062 GaussLegendre求积公式求解的Matlab程序2.1GaussLegendre方法的一些准备GaussLegendre:具有2n+1次代数精度。当n=2时,3阶GaussLegendre公式在1，1上有三个零点：x0=0.7745967 x1=0 x2=0。7745967即为高斯点发，对应的Gauss求积系数为： 对于任意区间(有界区间）a,b,将转换到。再用GaussLegendre求积公式： 进行积分求解2.2 n=2的GaussLegendre方法(1）先建立M文件:function g=gauss2(fun,a,b）h=（b-a)/2;c=（a+b)/2;x=h（-0。7745967）+c,c,h*0.7745967+c;g=h（0。55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)）+0.88888889*gaussf(x（2）)）;function y=gaussf(x）;y=2./(1+x.2）;在Matlab工作窗口中调用函数：y1=gauss2（gaussf，0，1)运行结果为：y1=1。5705（2）先建立M文件：function g=gauss2（fun,a，b）h=（ba)/2;c=（a+b)/2;x=h*(0.7745967)+c，c,h0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)）+gaussf(x（3）)+0。88888889*gaussf（x(2）);function y=gaussf（x);y=(1-1/2(sin(x).2).(1/2);在Matlab工作窗口中调用函数：y2=gauss2(gaussf,0,pi/2）运行结果为:y2= 1。3508第5章 结论通过以上变成和计算,得到所求的两组积分: 应用NewtonCotes积分公式所求的结果分别是 y1=1。5078,y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1。5705 和y2= 1.3508.单从结果上看,我们也能看出，Newton-Cotes积分公式和GaussLegendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结合第1章理论依据的内容,Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同时， Gauss Legendre积分公式比NewtonCotes积分公式具有更高的代数精度.而就本题而言Gauss Legendre积分公式具有5次代数精度，NewtonCotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在微小的差异，结果都比较准确。