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数值积分的计算方法论文

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11

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摘 要

本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导Newton—Cotes公式和Gauss—Legendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序,通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较,从而研究了用Newton-Cotes和Gauss—Legendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时Gauss—Legendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，但当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。

关键字：插值积分、Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre公式

数值积分

第1章 理论依据
逼近论—-构造一个简单函数p(x）近似表示f（x)，然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。

§1插值求积公式
为了用数值方法求，对被积函数f（x）在给定的n+1个节点上作Lagrange插值，用插值函数Pn(x)代替f（x）,就可用I（Pn(x))构造求积公式，近似地计算定积分I（f（x)）。

§2Newton—Cotes公式
§2。1Newton—Cotes公式的推导
当§1。1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton—Cotes公式。
将区间[a，b]n等分，，n+1个节点为
xk=a+kh (k=0，1,…，n)
在节点上对f（x)的Lagrange插值多项式是：

用Pn（x）代替f(x）构造求积公式：

记,（k=0,1,…,n)
作代换x=a+th带入上式，变为:

其中: （k=0，1,…，n) （1—1）
这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b］无关。只要确定n就能计算出系数.
于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式：
(1—2)
其中称为Newton—Cotes系数。如表1所示。
表1 Newton—Cotes系数
n

1
1/2
1/2

2
1/6
4/6
1/6

3
1/8
3/8
3/8
1/8

4
7/90
32/90
12/90
32/90
7/90

5
19/288
25/96
25/144
25/144
25/90
19/288

6
41/840
9/35
9/280
34/105
9/280
9/35
41/840

§2。2Newton—Cotes公式误差和稳定性
在积分公式中用插值多项式Pn(x）代替f（x）的插值误差是

因此，Newton-Cotes公式的截断误差是
（1-3）
讨论舍入误差对计算结果产生的影响,设（1-2)式近似计算
其中计算函数值f(xn）有误差值(k=0,1,2， …,n）。在（1—2）式中令设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（1—2）式计算时引式的误差为

如果皆为正，并设，则，故有界，即引起的误差受控制,不超过倍。保证了数值计算的稳定性。
但当n8时,将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newton—Cotes公式不能用。
当n为偶数时，Newton—Cotes积分公式具有n+1次代数精度。
§2。3经典Newton—Cotes公式
当n=4，5点公式称为经典Newton—Cotes公式

其中 (k=0,1,…,4),它具有5次代数精度。

§3 Gauss-Legendre求积公式
在积分区间[a,b］内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。
§3.1计算n阶求积公式

若有m次代数精度，对(k=0,1,…）应有

而.
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： (2—1）
为权函数,设>0，且在[a，b]上可积，构造n阶求积公式：

(2—2)
积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§3。3 Gauss—Legendre求积公式
求积分，权数=1，
其中（i=0,1，…，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数为：

（i=0，1,…，n）

具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节点个数，为积分点，为对应积分点的系数)。
表二Gauss—Legendre公式的插值节点和系数

对一般区间［a,b]上的积分，通过代换：

将转换到。再用Gauss—Legendre求积公式:

进行积分求解

第2章 问题描述
用Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre求下列积公式计算积分，并比较结果：

第3章 问题分析
题目给出的是用Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre求积分的问题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计算被积函数在积分区间［0,1］的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进行比较,得出关与

Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积公式精确度的结论.

第4章 求解计算
§1Newton—Cotes公式求解的Matlab程序
§1.1方法1:
（1）在Matlab工作窗口中:
fn=inline（’2/（1+x.^2）'）;
y1=quad8（'fn’,0，1)
运行结果为:
y1=1。5078
(2）在Matlab工作窗口中：
fn=inline(’（1—1/2＊（sin（x）)。^2）。^（1/2）’）；
y2=quad8(’fn’,0,pi/2）
运行结果为:
y2 = 1。3506
§1。2方法2：
（1）建立M文件：
function f=fn(x)
f=2./(1+x.^2)
在Matlab工作窗口中调用函数：
y1=quad8('fn'，0,1)
运行结果为
y1=1。5078
（2）建立M文件：
function f=fn（x）
f=（1—1/2＊（sin(x))。^2)。^（1/2）
在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=quad8('fn’，0,pi/2）
运行结果为：
y2 = 1。3506
§2 Gauss—Legendre求积公式求解的Matlab程序
§2.1Gauss—Legendre方法的一些准备
Gauss—Legendre:

具有2n+1次代数精度。
当n=2时,3阶Gauss—Legendre公式在［—1，1］上有三个零点：
x0=0.7745967 x1=0 x2=—0。7745967
即为高斯点发，对应的Gauss求积系数为：

对于任意区间(有界区间）[a,b],将转换到。再用Gauss—Legendre求积公式：

进行积分求解
§2.2 n=2的Gauss—Legendre方法
(1）先建立M文件:
function g=gauss2(fun,a,b）
h=（b-a)/2;
c=（a+b)/2;
x=[h＊（-0。7745967）+c,c,h*0.7745967+c];
g=h＊（0。55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3)））
+0.88888889*gaussf(x（2）)）;
function y=gaussf(x）;
y=2./(1+x.^2）;
在Matlab工作窗口中调用函数：
y1=gauss2（’gaussf’，0，1)
运行结果为：
y1=1。5705
（2）先建立M文件：
function g=gauss2（fun,a，b）
h=（b—a)/2;
c=（a+b)/2;
x=［h*(—0.7745967)+c，c,h＊0.7745967+c］;
g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)）+gaussf(x（3）))
+0。88888889*gaussf（x(2））);
function y=gaussf（x);
y=(1-1/2＊(sin(x)).^2).^(1/2);
在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2(’gaussf’,0,pi/2）
运行结果为:
y2= 1。3508

第5章 结论
通过以上变成和计算,得到所求的两组积分:

应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1。5078,y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1。5705 和y2= 1.3508.单从结果上看,我们也能看出，Newton-Cotes积分公式和Gauss—Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结合第1章理论依据的内容,Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同时， Gauss —Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的代数精度.而就本题而言Gauss —Legendre积分公式具有5次代数精度，Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在微小的差异，结果都比较准确。