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第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第1课时 正弦
01 基础题
知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA ，即sinA＝＝.
1．(贵阳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(D)
A. B.
C. D.
2．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA＝(A)
A. B.
C. D.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么sinα的值是(A)
A. B.
C. D.
第3题图 第4题图
4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝.
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是.
6．根据图中数据，求sinC和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，
BC＝＝，
∴sinC＝＝，
sinB＝＝.
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，
设a＝2k，c＝3k.(k>0)
∴b＝＝k.
∴sinA＝＝＝，
sinB＝＝＝.
知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长
8．(来宾中考)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则AB边的长是9.
9．(扬州中考)在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝6.
易错点 对正弦的概念理解不清
10．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
02 中档题
11．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB＝2A′B′，则sinA与sinA′的关系为(B)
A．sinA＝2sinA′ B．sinA＝sinA′
C．2sinA＝sinA′ D．不确定
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(C)
A. B.
C. D．1
13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，则sinA的值是(A)
A. B.
C．3 D．以上都不对
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为(A)
A. B. C. D.
第14题图 第16题图
15．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝.
16．(黄石中考)如图，⊙O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝.
17．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧OC上一点，求∠OBC的正弦值．
解：连接OA并延长交⊙A于点D，连接CD.
∴∠OBC＝∠ODC，
∠OCD＝90°.
∴sin∠OBC＝sin∠ODC＝＝＝.
03 综合题
18．(遂宁中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝1；sin2A2＋sin2B2＝1；sin2A3＋sin2B3＝1.
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝1；
(2)如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
解：(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
sinA＝，sinB＝，
∴sin2A＋sin2B＝.
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2.
∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)∵sinA＝，sin2A＋sin2B＝1，且sinB＞0，
∴sinB＝＝.
第2课时 锐角三角函数
01 基础题
知识点1 余弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝.
1．(湖州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)
A. B.
C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6 cm，那么BC等于(A)
A．8 cm B. cm
C. cm D. cm
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求cosA和cosB的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝.
cosA＝＝＝，cosB＝＝＝.
知识点2 正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.
4．(金华中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(A)
A. B. C. D.
5．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan∠ABC的值为(D)
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6．(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是.
7．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为.
知识点3 锐角三角函数
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
8．(广州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝17.
第8题图 第9题图
9．(崇左中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(A)
A．sinA＝ B．cosA＝
C．tanA＝ D．tanB＝
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.
(1)求AB的长；
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：(1)由勾股定理，得
AB＝＝＝25.
(2)sinA＝＝，cosA＝＝，
tanA＝＝.
02 中档题
11．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝(C)
A. B. C. D.
12．(汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是(B)
A. B. C. D.
13．将△AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A的坐标为(2，1)，则tan∠A′OB′的值为(A)
A. B．2 C. D.
第13题图 第14题图
14．(桂林中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．
15．(曲靖中考)如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，连接AC，B D.若AC＝2，则cosD＝.
16．(重庆中考)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，
∴＝＝，即AD＝4.
又AB＝12，
∴BD＝AB－AD＝8.
在Rt△BCD中，BC＝＝10.
∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝.
∴sinB＋cosB＝＋＝.
17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果＝，求tan∠DCF的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°.
∵＝，且由折叠知CF＝BC，
∴＝.
设CD＝2x，CF＝3x(x>0)，
∴DF＝＝x.
∴tan∠DCF＝＝＝.
03 综合题
18．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
(1)ctan30°＝；
(2)如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
解：∵tanA＝，且tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x.
∴ctanA＝＝＝.
第3课时 特殊角的三角函数值
01 基础题
知识点1 特殊角的三角函数值
填写下表：
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
1．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A)
A．sinA＝ B．cosA＝
C．tanA＝ D．cotA＝
2．计算：cos230°＝(D)
A. B. C. D.
3．(玉林中考)计算：cos245°＋sin245°＝(B)
A. B．1 C. D.
4．计算：tan45°＋cos45°＝2.
5．计算：
(1)sin30°＋cos45°；
解：原式＝＋＝.
(2)cos30°·tan30°－tan245°；
解：原式＝×－12＝－1＝－.
(3)sin45°＋sin60°·cos45°.
解：原式＝×＋×＝.
知识点2 由三角函数值求特殊角
6．(邵阳中考)在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是(D)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么下列最确切的结论是(C)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
8．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则α＝30°.
9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，则∠A＝60°.
知识点3 用计算器计算三角函数值
10．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(D)
A．5÷tan26°＝
B．5÷sin26°＝
C．5×cos26°＝
D．5×tan26°＝
12．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值．
解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0，
cosA＝cos18°36′≈0.947 8，
tanA＝tan18°36′≈0.336 5.
13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．
(1)sinα＝0.822 1；
解：α≈55.3°.
(2)cosβ＝0.843 4.
解：β≈32.5°.
02 中档题
14．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(B)
A．(，) B．(－，－)
C．(－，) D．(－，－)
15．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)
A. B.
C. D.
17．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为(C)
A．(，1) B．(1，)
C．(＋1，1) D．(1，＋1)
第17题图 第18题图
18．(重庆中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.
19．计算：
(1)(南宁中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋；
解：原式＝1＋1－2×1＋2
＝2.
(2)(－1)－2＋|－|＋(π－3.14)0－tan60°＋.
解：原式＝1＋(－)＋1－＋2
＝2＋.
20．若tanA的值是方程x2－(1＋)x＋＝0的一个根，求锐角A的度数．
解：解方程x2－(1＋)x＋＝0，
得x1＝1，x2＝.
由题意知tanA＝1或tanA＝.
∴∠A＝45°或60°.
21．(原创题)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1.
(1)若BC＝，求△ABC三个内角的度数；
(2)若BC＝，求△ABC三个内角的度数．
解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°.
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC＝1，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝.
∴cosB＝＝＝.
∴∠B＝30°.
∴∠C＝30°，∠BAC＝120°.
03 综合题
22．(临沂中考)一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.
例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是.
28.2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
01 基础题
知识点1 已知两边解直角三角形
如图，已知两边：
(1)已知a，b，则c＝，sinA＝cosB＝，sinB＝
cosA＝，tanA＝，tanB＝；
(2)已知a，c，则b＝，sinA＝cosB＝，sinB＝cosA＝，tanA＝，tanB＝.
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(C)
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cosA的值是(A)
A. B. C. D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20，则∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2，AC＝6，解此直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝4.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
如图，已知一边一角：
(1)已知a，∠A，则∠B＝90°－∠A，c＝，b＝；
(2)已知c，∠A，则∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA.
5．(沈阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(D)
A.
B．4
C．8
D．4
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为(C)
A．12 B．18 C．24 D．48
7．(新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
8．(教材9下P73例2变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：根据题意，∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°.
根据正弦定义，sinB＝，则
AB＝＝≈4.9.
根据正切的定义，tanB＝，则
BC＝＝≈2.8.
所以△ABC的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9.
易错点 忽视钝角三角形而致错
9．在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为2或4.
02 中档题
10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是(A)
A．4 cm
B．6 cm
C．8 cm
D．10 cm
11．(牡丹江中考)在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC边长为(D)
A．7
B．8
C．8或17
D．7或17
12.(河池中考)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，则tanB＝.
第12题图 第13题图
13．(攀枝花中考)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是2.
14．(柳州中考)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．
解：(1)∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3.∴AD＝BD＝3.
(2)CD＝AC－AD＝5－3＝2，
在Rt△BDC中，tanC＝＝＝.
15．(包头中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝，求AD的长．
解：(1)∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，∠A＝60°，AB＝6，tanA＝，
∴BE＝6·tan60°＝6.
∵在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠E＝90°－60°＝30°， CD＝4，
∴CE＝2CD＝8.
∴BC＝BE－CE＝6－8.
(2) ∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，sinA＝，
∴＝.
设BE＝4x，则AE＝5x(x＞0)．
∵AE2－BE2＝AB2，
∴(5x)2－(4x)2＝62.∴x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
∵在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，tanE＝，而在Rt△ABE中，tanE＝＝＝，
∴＝.
∴ED＝CD＝.
∴AD＝AE－ED＝.
03 综合题
16. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝，tanA＝，AC＝3.
(1)求∠B的度数与AB的长；
(2)求tan∠CDB的值．
解：(1)作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝2x.
∴AC＝＝x.
∴x＝3，解得x＝3.
∴CE＝3，AE＝6.
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°.
∴△BCE为等腰直角三角形．
∴BE＝CE＝3.
∴AB＝AE＋BE＝9.
(2)∵CD是边AB上的中线，
∴BD＝AB＝4.5.
∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5.
∴tan∠CDE＝＝＝2，
即tan∠CDB的值为2.
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题
1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(C)
A．5sin36°米 B．5cos36°米
C．5tan36°米 D．10tan36°米
第1题图 第2题图
2．(教材9下P74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面最近距离AP＝－R.
3．(云南中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：≈1.41，≈1.73；结果保留整数)
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵∠CAB＝30°，
∴AD＝CD.
∵∠CBA＝60°，∴DB＝CD.
∵AB＝AD＋DB＝30，∴CD＋CD＝30.
∴CD＝＝×1.73≈13(米)．
答：河的宽度约为13米．
知识点2 解与视角有关的实际问题
4．(教材9下P75例4变式)(长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(A)
A．160 m
B．120 m
C．300 m
D．160 m
5．(昆明中考)如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°(点B，E，D在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
解：由题意，得∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°.
∵AB＝15，∠AEB＝42°，
tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝.
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝45°，CD＝20.
∴ED＝CD＝20.
∴BD＝BE＋ED＝＋20≈36.7(m)．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m.
易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误
6．(长沙中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(C)
A.米
B．30sinα米
C．30tanα米
D．30cosα米
02 中档题
7. (贵阳中考)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．
解：延长AD交BC所在直线于点E.
由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴CE＝AE·tan60°＝15米．
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≈71°.
答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.
8．(遵义中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.
(1)求主桥AB的长度；
(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
(长度均精确到1 m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)
解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，
∴AB＝＝＝＝97≈168.
答：主桥AB的长度约为168 m.
(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，
∴PB＝2PA＝194.
又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PBA＝30°，
∴∠DBP＝∠DPB＝60°.
∴△PBD是等边三角形．
∴DB＝PB＝194.
在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，
∴BC＝＝≈32.
答：引桥BC的长约为32 m.
03 综合题
9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：
①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.
请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
情况一：
选用①，②，④.
∵AB⊥FC，CD⊥FC，
∴∠ABF＝∠DCE＝90°.
又∵AF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEC.
则△ABF∽△DCE.
∴＝.
又∵DC＝1.5 m，FB＝7.6 m，EC＝1.7 m，
∴AB≈6.7 m.
即旗杆高度约为6.7 m.
情况二：
选用①，③，⑤.
过D点作DG⊥AB于G点，
∵AB⊥FC，DC⊥FC，
∴四边形BCDG为矩形．
∴CD＝BG＝1.5 m，DG＝BC＝9 m.
在Rt△AGD中，∠ADG＝30°，tan30°＝，
∴AG＝3 m.
又AB＝AG＋GB，
∴AB＝3＋1.5≈6.7(m)．
∴旗杆高度约为6.7 m.
第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题
01 基础题
知识点1 解与方位角有关的实际问题
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)
A．250米 B．250米
C.米 D．500米
第1题图 第2题图
2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
3．(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73)
解：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，
∠ACP ＝ 90°，∠PAC ＝ 60°.
∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×＝100(m)．
∵在Rt△PBC中，sin37°＝，
∴PB＝＝≈288(m)．
答：小亮与妈妈相距约288米．
知识点2 解与坡角有关的实际问题
4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(A)
A．12米 B．4米
C．5米 D．6米
第4题图 第5题图
5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是3米．
6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．
由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，
在Rt△ABE中，＝，
∴AE＝50米．
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴DF＝CF＝20米．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋20≈90.6(米)．
答：坝底AD的长度约为90.6米．
02 中档题
7．(铜仁中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(≈1.732)
解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．
理由如下：
由题意，得∠ABD＝30°，
∠ACD＝60°.
∴∠CAB＝∠ABD.
∴BC＝AC＝200海里．
在Rt△ACD中，设CD＝x，则AC＝2x，AD＝＝＝x.
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，
BD＝＝＝3x.
又∵BD＝BC＋CD，∴3x＝200＋x，解得x＝100.
∴AD＝x＝100≈173.2.
∵173.2海里＞170海里，且D处距离A处最近，
∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．
8．(贵阳中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m)
解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M.
由题意，得EM⊥AC，DF＝CM，∠AEM＝29°，
在Rt△DFB中，sin80°＝，∴DF＝BDsin80°.
AM＝AC－CM＝1 790－1 700sin80°.
在Rt△AME中，sin29°＝，
∴AE＝＝≈238.9(m)，
答：斜坡的长度约为238.9 m.
03 综合题
9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.4，≈1.7)
解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.
∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
∴CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.
DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2.
又∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6.
∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.
设AB＝x m.
又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x.
∴BG＝＝＝x.
∵BG－BC＝CG，
∴x－x＝8.
解得x≈11 m.
答：电线杆的高(AB)约为11 m.
小专题17 解直角三角形的实际应用
1．(遵义月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，≈1.732)
解：过点E作EC⊥AB于C.
∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，
∴AC＝CE·tan60°＝6×＝6≈6×1.732≈10.4(m)．
∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(m)．
答：旗杆AB的高度约为11.9 m.
2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．
(1)请在图中作出该船在点B处的位置；
(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．
解：(1)如图．
(2)AB＝30×0.5＝15(海里)．
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴BC＝AB·tan∠BAC
＝AB·tan30°
＝15×
＝5(海里)．
答：钓鱼岛C到B处距离为5海里．
3．(遵义中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，结果精确到个位)
解：过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝200，
∴CD＝BC＝100，
BD＝100≈173.
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAB＝，∴AD＝≈72.
∴AB＝AD＋BD≈245.
答：隧道AB的长约为245米．
4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)
(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6(米)，
CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．
易知：四边形DEE′D′是矩形．
∴DE＝D′E′＝6米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8(米)．
∴DD′＝EE′＝6.8米．
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