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2019-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC,若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 【答案】A
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 【解析】 ：∵CD是圆O的切线
∴OC⊥CD，及∠OCD=90°
∴∠COD=90°-50°=40°
∴∠A=∠COD=×40°=20°
故答案为：A
【分析】利用切线的性质及三角形内角和定理求出∠COD的度数，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠A的度数。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 2.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A. 28° B. 33° C. 34° D. 56°
【答案】A
【解析】 ：连结OB,
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90°−∠A=90°−34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为：A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠C的度数。
3.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=8，OA=6，sin∠APO的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ：∵PA为⊙O的切线
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴OP=
∴sin∠APO=
故答案为：B
【分析】由切线的性质，可证得△AOP是直角三角形，利用勾股定理求出OP的长，然后利用锐角三角函数的定义，求出sin∠APO的值。
4.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=________.
【答案】50°
【解析】 ：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径
∴AB⊥AT
∴∠BAT=90°
∴∠ATB=90°-∠ABT=90°-40°=50°
故答案为：50°
【分析】由切线的性质可求得∠BAT=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可解答。
5.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为________.
【答案】
【解析】 ：
∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线
∴∠C=∠OAD=90°
∵BC∥OD
∴∠B=∠AOD
∴cos∠B=cos∠AOD
∴
解之：BC=
故答案为：
【分析】由BC∥OD，可得出∠B=∠AOD，进而可得出cos∠B=cos∠AOD，建立方程求解即可。
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB
的延长线于E，则sinE的值为________.
【答案】
【解析】 连接OC
∵CE是圆O的切线
∴OC⊥CE
∴∠OCE=90°
∵弧CB=弧CB，∠CDB=30°
∴∠COE=2∠CDB=2×30°=60°
∴∠E=90°-∠COE=30°
∴sin∠E=sin30°=
【分析】根据圆的切线的性质可证得△OCE是直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，求出∠COE的度数，就可求出∠E的度数，就可解答。
7.如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
【答案】证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
【解析】【分析】利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
8.已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】（1）解：∵MA、MB分别切⊙O于点A、B．
∴AM=BM，OA⊥AM
∴∠MBA=∠MAB
∴∠BAC+∠MAB=90°
∵∠BAC=23°
∴∠MBA=∠MAB=90°-23°=67°
∴∠AMB=180°-2×67°=46°
（2）解：连接AB、AD
BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∴BE=DE，
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OA⊥AM，可推出∠MBA=∠MAB，∠BAC+∠MAB=90°，结合已知求出∠BAM的度数，从而求出∠AMB的度数。
（2）由BD∥AM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明△BMA是等边三角形，就可求得结果。
9.过圆上一点可以作圆的________条切线；过圆外一点可以作圆的________条切线；过圆内一点
的圆的切线________．
【答案】1；2；0
【解析】 ：过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆内的一点的切线有0条；
故答案为：1、2、0
【分析】由切线的定义即可直接写出答案。
10.以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是________．
【答案】直角三角形
【解析】 ：如图所示，
∵AB是直径，AC是切线，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形。
故选B.
【分析】根据切线的性质定理得此三角形的两边互相垂直，可知它是一个直角三角形。
11.下列直线是圆的切线的是（ ）
A. 与圆有公共点的直线 B. 到圆心的距离等于半径的直线
C. 垂直于圆的半径的直线 D. 过圆直径外端点的直线
【答案】B
【解析】 ：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；
B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；
D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；
【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。
12.OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
【答案】B
【解析】 ：如图，
设⊙P与直线OC相切于点E，
连结PE，则PE⊥OC，
过P作PD⊥OB于D，
∵OP是⊙P的角平分线，
∴PE=PD，
∵PD是半径
∴⊙P与直线OB相切.
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。
13.△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定
【答案】A
【解析】 ：如图
∵△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，
∴BC=
∵以B为圆心，5为半径的圆
∴BC=r
∴直线AC与以B为圆心，5为半径的圆相切
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据切线的判定，可得出结果。
14.菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定
【答案】C
【解析】 ：如图
过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵菱形ABCD
∴BD平分∠ABC
∴OE=OF
同理可证点O到菱形各边的距离都相等
∴以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是相切，
故答案为：C
【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。
15.平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都有可能
【答案】C
【解析】 ：如图
∵点A（3，4）
∴OA=
点A到直线y=-x的距离为线段AB的长
∴AB＜5
∴以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是相交
故答案为：C
【分析】画出图形，根据勾股定理求出AO的长，再根据垂线段最短，可得出AB＜5，从而可判断出直线y=-x与圆A的位置关系。
16.如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC
∵弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
∴∠A=∠D=30°
∵OA=OC
∴∠ACO=∠A=30°
∴∠COD=∠A+∠ACO=30°+30°=60°
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°
即OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线
（2）解：连接CB
∵∠COD=60°，OC=OB
∴△OCB是等边三角形
∴OA=OB=BC=2，∠CBA=60°
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，BC=2，∠CBA=60°
∴tan∠CBA=
∴AC=2tan60°=
∴AC的长为。
【解析】【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，连半径，证垂直（OC⊥CD），只需由已知条件分别求出∠D和∠COD的度数，就可证得结论。
（2）连接CB，利用圆周角定理，可证得△ABC是直角三角形，再证明△OCB是等边三角形，就可求出CB、AB的长，利用解直角三角形或勾股定理，求出AC的长。
17.如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
]
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径
∴∠D=90°
∴∠A+∠DBA=90°
∵∠DBC=∠A
∴∠DBC+∠DBA=90°
∴BC⊥AB
∴BC是半圆O的切线
（2）解：∠BEC=∠D=90∘，
∵BD⊥AD，BD=6，
∴BE=DE=3，
∵∠DBC=∠A，
∴△BCE∽△BAD，
∴，即
∴AD=4.5
【解析】【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理，即证明AB⊥BC即可。
（2）由OC∥AD，可得出∠BEC=∠D=90°，再证明△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可求出AD的长。
18.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD= ，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE∥CD
∴BE⊥AB
∴BE为⊙O的切线
（2）解：∵CD⊥AB，CD=6
∴CM=CD=3
在Rt△BCM中，tan∠BCD=
∴
解之：BM=
∵CD⊥AB
∴弧BC=弧BD
∴∠BCD=∠A
∴tan∠A=
解之：AM=6
∴圆O的直径为：AM+BM=6+=7.5
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，BE∥CD，易证BE⊥AB，就可证得结论。
（2）利用垂径定理求出CM的长，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠BCD=∠A，根据锐角三角函数的定义，分别求出BM、AM的长，就可求出圆的直径。
19.如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=6，求AD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵sinB=
∴∠B=30°
∵∠AOC=2∠B=60°
∵∠D=30°
∴∠OAD=180°−∠D−∠AOD=90°
∴OA⊥AD
∴AD是圆O的切线
（2）解：∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6，
∵∠OAD=90°，∠D=30°
∴tan∠D=tan30°=
∴
解之：AD=
【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，连接OA，只要证明∠OAD=90°。利用特殊角的三角函数值，求出∠B的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC及∠ D的度数，即可证得结论。
（2）先证明△AOC是等边三角形，求出OA的长，再利解直角三角形求出AD的长。
20.已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC= OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵OC=BC，AC=OB
∴OC=BC=AC=OA
∴△ACO是等边三角形
∴∠O=∠OCA=60°
∵AC=BC
∴∠CAB=∠B
∵∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B
∴∠B=30°
∴∠OAC=60°
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°
即OA⊥AB
∴AB是O的切线
（2）解：作AE⊥CD于点E
∵∠O=60°
∴∠D=∠O=30°
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中,CE=AE=
∵∠D=30°
∴AD=2AE=
∴DE=AE=
∴CD=DE+CE=
【解析】【分析】（1）要证AB是⊙O的切线，连接OA，只需证明OA⊥AB。先证△ACO是等边三角形，得出∠OAC的度数，再求出∠CAB的度数，就可求得∠OAB的度数，从而可证得结论。
（2）作AE⊥CD于点E，利用圆周角定理求出∠D的度数，再利用解直角三角形就可求出结果。
21.如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO
∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP
∴PA是⊙O的切线．
【解析】【分析】要证PA是⊙O的切线，就需连接OA，证明OA⊥AP。利用等腰三角形的性质证明∠OCA=∠OAC，再根据垂直的定义及∠EAC=∠CAP，去证明∠OAC+∠CAP=90°，即可证得结论。
22.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3 ，求BD和FG的长度．
【答案】（1）证明：∵BC是O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC
∴AD∥BE
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF
（2）证明：连接AO,AB,
∵BC是O的直径，
∴∠BAC=90°.
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴OA⊥PA
∴PA是O的切线
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD
∴FH∥BC
由(2)，可知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
BF=FG
∴AF=FG
∴△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH∥BD,BF∥AD,∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH
∵FH∥BC
∴△HFG∽△DCG，
∴
∴
∵O的半径长为
∴BC=
∴
解之：BD=
∴BD=FH=
∵
∴CF=3FG.
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2
∴(3FG)2=FG2+()2
解之：FG=3(取正值)
∴FG=3
【解析】【分析】（1）根据切线判定可证得EB⊥BC，由AD⊥BC，证明AD∥BE，利用相似三角形的判定可得出△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，由G是AD的中点，找中间比就可得出结论。
（2）要证PA是 O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AO，AB，根据第1的结论和BE是圆O的切线和直角三角形的性质，就可得出结论。
（3）过点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度。
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