z变换法进行系统特性分析ⅱ数字信号课程论文-学位论文.doc

燕山大学
课 程 设 计 说 明 书

题目： Z变换法进行系统特性分析Ⅱ

学院（系）： 里仁学院
年级专业： 检测技术与仪器2班
学 号： 101203021103
学生姓名： 谢秋霞
指导教师： 王娜
教师职称： 讲师

目录

摘要…………………………………………………………………3
一、 离散系统零极点………………………………………………4
二、离散系统零极点图及零极点分析……………………………5
三、因果系统零极点模型…………………………………………9
（1）分析函数……………………………………9
1、零极点………………………………………………9
2、零极点图的绘制……………………………………10
3、单位脉冲响应………………………………………11
4、幅频与相频特性……………………………………12
5、稳定性分析…………………………………………14
（2） 分析函数……………………………………14
1、零极点………………………………………………15
2、零极点图的绘制……………………………………15
3、单位脉冲响应………………………………………16
4、幅频与相频特性……………………………………17
5、稳定性分析…………………………………………19
（3） 分析函数……………………………………19
1、零极点………………………………………………19
2、零极点图的绘制……………………………………20
3、单位脉冲响应………………………………………21
4、幅频与相频特性……………………………………22
5、稳定性分析…………………………………………24
四 结论……………………………………………………………24
参考文献…………………………………………………………26

26

摘 要
Z变换，是在离散系统分析中为简化运算而建立的对函数序列的数学变换，是离散系统与离散信号分析和综合的重要工具，Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。

在采样控制理论中Z变换也是主要的数学工具。Z变换还在时间序列分析、 数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。利用Z变换来判定系统的稳定性和系统的频率响应，是很容易实现的，再借助matlab软件对结果进行仿真，再校正，得到最终的结果，较为方便。

关键词：Z变换 零极点 幅频 相频

一、离散系统零极点
线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即
（1）
其中为系统的输出序列，为输入序列。
将式（1）两边进行Z变换的
（2）
将式（2）因式分解后有：
（3）
其中为常数，为的个零点，为的个极点。
系统函数的零极点分布决定系统的特性，若给定某系统函数的零极点，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有重要意义。通过对系统函数零极点的分析，下面总结离散系统的三个方面的特性：
（1） 离散系统的频率特性；
（2） 系统单位脉冲响应的时域特性；
（3） 离散系统的稳定性；
二、离散系统零极点图及零极点分析
1．零极点图的绘制
设离散系统的系统函数为：

则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：
p=roots(A)
其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为+，则求该多项式根的MATLAB命令为为：
A=[1 1/2 3/4];
P=roots(A)
运行结果为：
P =
-0.2500 + 0.8292i
-0.2500 - 0.8292i
在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时有所不同。
（1）按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；
例
其分子、分母多项式系数向量分别为A=[2 0 4 1]、B=[1 5 3 0 2]。
（2）按的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则的零点或极点就可能被漏掉。
例
其分子、分母多项式系数向量分别为A=[2 3 0]、B=[1 2 3]。
用roots()求得的零极点后，就可以用zplane()函数绘制出系统的零极点图。
2. 离散系统的零极点分布与系统稳定性的关系
离散系统稳定的条件为：
（1）时域条件：离散系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为
（2）Z域条件：离散系统稳定的充分必要条件是系统函数的所有极点均位于Z平面的单位圆内，即H(z)的收敛域包含单位圆。
3. 零极点分布与系统单位脉冲时域特性的关系
离散系统的系统函数与单位脉冲响应是一对Z变换对；因而，必然包含了的固有特性。
离散系统的系统函数可以写成
（4）
若系统的个极点均为单极点，可将进行部分分式展开为：
（5）
由Z逆变换得：
（6）
从式（5）和（6）可以看出离散系统单位脉冲响应的时域特性完全由系统函数的极点位置决定。
（1）位于Z平面单位圆内的极点决定了随时间衰减的信号分量；
（2）位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了的稳定信号分量；
（3）位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了的随时间增长的信号分量；
由于手动运算对于高阶函数很繁琐，所以，在此我们用matlab来绘制函数的单位脉冲响应图形，来验证以上观点的正确性。
已知因果系统的零极点模型分别为，，。
分别画出这些系统的零极点分布图以及系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性（zplane，impz等）
三、因果系统的零极点模型
1、 函数
（1） 零极点：用matlab函数roots实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -0.5];
P=roots(A)
Q=roots(B)
Matlab运行程序以及结果如下图：
A=[1 0];
B=[1 -0.5];
P=roots(A)
Q=roots(B)
结果:
P = 0
Q =0.5000
（2） 零极点分布图：用matlab零极点分布图绘制函数zplane实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -0.5];
zplane（A,B）
Matlab运行程序及结果如下图：

（3）单位脉冲响应：用matlab绘制函数impz实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -0.5];
impz（A,B）
Matlab运行程序及结果如下图：

（4） 幅频特性与相频特性：用matlab函数freqz实现绘图，
B=[1 -0.5];
A =[1 0];
[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');
Hf=abs(H);
Hx=angle(H);
clf
figure(1)
plot(w,Hf)
figure(2)
plot(w,Hx)
运行程序及运行的幅频特性与相频特性分别如图：
幅频特性1

相频特性1
（5）由系统的零极点分布图与离散系统稳定性的判定，可判断系统 是稳定的。
2、 函数
（1）零极点：用matlab函数roots实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -1];
P=roots(A)
Q=roots(B)

Matlab运行程序以及结果如下图：

A=[1 0];
B=[1 -1];
P=roots(A)
Q=roots(B)
结果：P =0
Q =1
(2) 零极点分布图：用matlab零极点分布图绘制函数zplane实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -1];
Zplane(A,B)
Matlab运行程序及结果如下图:

（3）单位脉冲响应：用matlab绘制函数impz实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -1];
Impz(A,B)
Matlab运行程序及结果如下图：
（4）幅频特性与相频特性：用matlab函数freqz实现绘图，
B=[1 -1];
A =[1 0];
[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');
Hf=abs(H);
Hx=angle(H);
clf
figure(1)
plot(w,Hf)
figure(2)
plot(w,Hx)
运行程序及运行的幅频特性与相频特性分别如图：
幅频特性2
相频特性2
(5) 由系统的零极点分布图与离散系统稳定性的判定，知系统 是稳定的
3、函数
（1）零极点：用matlab函数roots实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -2];
P=roots(A)
Q=roots(B)
Matlab运行程序以及结果如下图:
A=[1 0];
B=[1 -2];
P=roots(A)
Q=roots(B)
结果：
P=0
Q=2
(2) 零极点分布图：用matlab零极点分布图绘制函数zplane实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -2];
Zplane(A,B)
Matlab运行程序及结果如下图：
（3）单位脉冲响应：用matlab绘制函数impz实现如下：
A=[1 0];
B=[1 -2];
Impz(A,B)
Matlab运行程序及结果如下图：
(4) 幅频特性与相频特性：用matlab函数freqz实现绘图，
B=[1 -2];
A =[1 0];
[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');
Hf=abs(H);
Hx=angle(H);
clf
figure(1)
plot(w,Hf)
figure(2)
plot(w,Hx)
运行程序及运行的幅频特性与相频特性分别如图：
幅频特性3

相频特性3
(5) 由系统的零极点分布图与离散系统稳定性的判定，知系统 是不稳定的。
四、结论
通过完成本次数字信号的课程设计，我从中收获了很多，首先，我熟练掌握了matlab软件的使用方法，会编写仿真程序并调试，能够利用该软件用Z变换分析系统特性，绘制零极点、幅频特性以及相频特性的图像，求出脉冲响应等。其次，在实践中我提高了自己的学习知识、分析问题和解决问题的能力，理论与实践相结合。最后，在课设中，我体会到了一种从实践到认识再到实践，循环往复的过程，这也正是一系列否定之否定的过程，是自己不断提升认识的过程。

参考文献
【1】 丁玉美，高西全.数字信号处理.2版.西安：西安电子科技大学出版社，2001
【2】 胡广书.数字信号处理——理论、算法与实现.北京：清华大学出版社，1998
【3】 罗军辉,冯平，哈力旦.A等 .MATLAB 7.0在图像处理中的应用.北京：机械工业出版社，2005
【4】 阮秋琦.实用数字图像处理.北京：电子工业出版社，2001