2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课.doc

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5.00分）=（）AiBCD2（5.00分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），则A中元素的个数为（）A9B8C5D43（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）ABCD4（5.00分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D05（5.00分）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6（5.00分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A4BCD27（5.00分）为计算S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+48（5.00分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD9（5.00分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD10（5.00分）若f（x）=cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD11（5.00分）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D5012（5.00分）已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5.00分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 14（5.00分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 15（5.00分）已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin（+）= 16（5.00分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。17（12.00分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18（12.00分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12.00分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20（12.00分）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值21（12.00分）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=5|x+a|x2|（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5.00分）=（）AiBCD【解答】解：=+故选：D2（5.00分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），则A中元素的个数为（）A9B8C5D4【解答】解：当x=1时，y22，得y=1，0，1，当x=0时，y23，得y=1，0，1，当x=1时，y22，得y=1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A3（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B4（5.00分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D0【解答】解：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B5（5.00分）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【解答】解：双曲线的离心率为e=，则=，即双曲线的渐近线方程为y=x=x，故选：A6（5.00分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A4BCD2【解答】解：在ABC中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，则AB=4故选：A7（5.00分）为计算S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+4【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=NT=（1）+（）+（）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2故选：B8（5.00分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P=，故选：C9（5.00分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为，则cos=，异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为故选：C10（5.00分）若f（x）=cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是（）ABCD【解答】解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故选：A11（5.00分）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C12（5.00分）已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率e=故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5.00分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x14（5.00分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9故答案为：915（5.00分）已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin（+）=【解答】解：sin+cos=1，两边平方可得：sin2+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2（sincos+cossin）=1，即2+2sin（+）=1，2sin（+）=1sin（+）=故答案为：16（5.00分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sinASB=SAB的面积为5，可得sinASB=5，即=5，即SA=4SA与圆锥底面所成角为45，可得圆锥的底面半径为：=2则该圆锥的侧面积：=40故答案为：40三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。17（12.00分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【解答】解：（1）等差数列an中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；（2）a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n28n=（n4）216，当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为1618（12.00分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【解答】解：（1）根据模型：=30.4+13.5t，计算t=19时，=30.4+13.519=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.59=256.5；利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型的预测值更可靠些19（12.00分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y2=（x3），即y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16或（x11）2+（y+6）2=14420（12.00分）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接BO，AB=BC=2，O是AC的中点，BOAC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，POAC，PO=2，则PB2=PO2+BO2，则POOB，OBAC=O，PO平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（2，2，0），设=（2，2，0），01则=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，2，2），则=2y2z=0，=（22）x+（2+2）y=0令z=1，则y=，x=，即=（，1），二面角MPAC为30，cos30=|=，即=，解得=或=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，1），=（0，2，2），PC与平面PAM所成角的正弦值sin=|cos，|=|=21（12.00分）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当x（0，ln2）时，g（x）0，当x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=方法二：当a0时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点当a0时，设函数h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点 h（x）=x（x2）ex，当x（0，2）时，h（x）0，当x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，（x0）当h（2）0时，即a，由于h（0）=1，且当x0时，exx2，可得h（4a）=1=10h（x）在（0，+）有2个零点当h（2）0时，即，h（x）在（0，+）没有零点，当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：sinxcosy+2cossin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，当直线的斜率不存时，x=1当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线l的斜率为2选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=5|x+a|x2|（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5|x+1|x2|=当x1时，f（x）=2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）=20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）=2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x+a|+|2x|x+a+2x|=|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，62，+）第12页（共12页）