2022届高考数学统考一轮复习-第8章-平面解析几何-第6节-双曲线教案-理-新人教版.doc

2022届高考数学统考一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线教案 理 新人教版

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　双曲线
[考试要求]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
性质
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．

1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. (　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材习题衍生
1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 (　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
A　[设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.]
2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ．
－＝1　[设等轴双曲线的方程为
x2－y2＝λ(λ≠0)．
由题意得9－1＝λ，∴λ＝8.
即－＝1.]
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是 ．
(－∞，－2)∪(－1，＋∞)　[因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]
4．双曲线－＝－1的实轴长为 ，离心率为 ，渐近线方程为 ．
10　　y＝±x　[双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.]

考点一　双曲线的定义及其应用
　双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[典例1]　(1)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于 ．
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ．
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ .
(1)6　(2)x2－＝1(x≤－1)　(3)　[(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B．

根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.]
[母题变迁]
1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
2．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝2.
点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．

1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
B　[由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①
|BF2|－|BF1|＝，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
则△ABF2的周长为16＋，故选B．]
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ．
9　[设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]
考点二　双曲线的标准方程
　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
1．(2020·兰州诊断)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
又双曲线过点M(2，2)，
所以λ＝－6.即双曲线方程为－＝1，故选D．]
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
D　[由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．]
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为 ．
－＝1　[设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.]
点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程．
考点三　双曲线的几何性质
　1.求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
　求双曲线的渐近线方程
[典例2－1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2020·广州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(1)A　(2)B　[(1)法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)假设点P在双曲线的右支上，
则∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，
∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，
∴c2－2ac＋3a2＝0，
∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，
∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B．]
点评：双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
k＝＝＝，或e＝＝＝.
　双曲线的离心率
[典例2－2]　(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A． B． C．2 D．
(1)B　(2)A　　[(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．
(2)令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.

如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得＋＝a2，
∴＝，即离心率e＝.
故选A．]
点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形，多借助圆的几何性质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等．

1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　　B．5　　　　C．　　　　D．2
A　[由题意可知b＝2a，
∴e＝＝＝，故选A．]
2．(2020·衡水模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1,2) D．(2，＋∞)
A　[由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.]
3．(2020·安徽示范高中联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[由题意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，即|BF1|＝4a，|BF2|＝6a，|F1F2|＝2c，在直角三角形BF1F2中，得16a2＋36a2＝4c2＝4(a2＋b2)，则＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A．]