2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练三角恒等变换与解三角形.doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练三角恒等变换与解三角形

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练三角恒等变换与解三角形

年级：
姓名：

增分强化练(十一)
考点一　三角恒等变换及其应用
1．(2019·宁德质检)cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝cos 31°cos 1°＋sin 31°sin 1°＝cos(31°－1°)＝cos 30°＝，故选B.
答案：B
2．(2019·蚌埠模拟)函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1的图象的对称轴可能
为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋，(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故选A.
答案：A
3．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝________.
解析：因为(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°，
又tan 45°＝＝1，所以tan 25°＋tan 20°＝1－tan 20°tan 25°，所以(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
4．(2019·北京西城区模拟)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期T＝________；如果对于任意的x∈R都有f(x)≤a，那么实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期T＝π，依题意，知a≥f(x)恒成立，所以，a≥f(x)max＝，即a≥.
答案：π　[，＋∞)
考点二　正弦定理与余弦定理
1．(2019·湛江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝(4c－b)cos A，则cos 2A＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：∵acos B＝(4c－b)cos A.
∴sin Acos B＝4sin Ccos A－sin Bcos A，
即sin Acos B＋sin Bcos A＝4cos Asin C，
∴sin C＝4cos Asin C，
∵0＜C＜π，sin C≠0.
∴1＝4cos A，即cos A＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝－.
故选A.
答案：A
2．(2019·蚌埠模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2A＋c(sin C－sin A)＝2sin2B，且△ABC的面积S＝abc，则角B＝________.
解析：S＝abc⇒abc＝absin C⇒c＝2sin C，
代入2sin2A＋c(sin C－sin A)＝2sin2B中，得sin2A＋sin2C－sin Asin C＝sin2B，
由正弦定理＝＝，可将上式化简为a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac·cos B，所以有cos B＝，又因为B∈(0，π)，所以角B＝.
答案：
3．(2019·晋城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin2(B＋C)－3cos A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若B＝，a＝2，求边长c.
解析：(1)因为A＋B＋C＝π，2sin2(B＋C)－3cos A＝0，
所以2sin2A－3cos A＝0,2(1－cos2A)－3cos A＝0，
所以2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.
因为cos A∈(－1,1)，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，解得c＝＋.
考点三　解三角形与三角函数的交汇问题
1．(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．

解析：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)，
△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
∴∠DBC＝30°，
由正弦定理，＝，
所以BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)；
△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600(＋)×(－)×
＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，
解得AB＝80，
则两目标A，B间的距离为80.
答案：80
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sin C成等差数列，且cos C＝.
(1)求的值；
(2)若c＝11，求△ABC的面积．
解析：(1)因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C，
由正弦定理得2b＝a＋c，即c＝2b－a.
又因为cos C＝，根据余弦定理有：
cos C＝＝＝2－＝，
所以＝.
(2)因为c＝11，cos C＝，根据余弦定理有a2＋b2－2ab·＝121，
由(1)知b＝a，所以a2＋a2－2a·a·＝121，
解得a2＝81.
由cos C＝得sin C＝，
所以△ABC的面积S＝absin C＝a2sin C＝×81×＝30.