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2021届高考数学统考二轮复习 第一部分 送分考点 自练自检 第3讲 不等式、推理与证明教案 理

2021届高考数学统考二轮复习 第一部分 送分考点 自练自检 第3讲 不等式、推理与证明教案 理

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姓名：

第3讲　不等式、推理与证明

　　　　　　　　不等式的性质及解法

授课提示：对应学生用书第7页

考情调研
考向分析
以理解不等式的性质和解一元二次不等式为主，在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质和一元二次不等式的解法；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.
1.不等式的性质．
2．比较大小．
3．一元二次不等式的解法.

[题组练透]
1．(2019·甘肃二诊)若a>b，ab≠0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2>b2　　　　　　　 B．lg(a－b)>0
C.< D．2a>2b
解析：对于选项A, a2>b2不一定成立，如a＝1＞b＝－2，但是a2＜b2，所以该选项是错误的；
对于选项B，a＝，b＝，a－b＝，lg<0，
所以该选项是错误的；
对于选项C，－＝，∵b－a<0，ab符号不确定，所以<不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b，所以2a>2b，所以该选项是正确的．故选D.
答案：D
2．关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－3,1] B．[－3,3]
C．[－1,1] D．[－1,3]
解析：∵关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，
∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)≤0，
解得－1≤m≤3，
∴实数m的取值范围为[－1,3]．
故选D.
答案：D
[题后悟通]
快
审
题
1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
2．看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤

续表

准
解
题
1.明确解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．掌握不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；
f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a.
(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等
避
误
区
解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论

　　　　　　　　简单的线性规划问题
授课提示：对应学生用书第7页
考情调研
考向分析
以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强直观想象素养．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中、低档.
1.求目标函数的最值(截距型、斜率型、距离型)．
2.求参数的值(参数在约束条件中、参数在目标函数中)．
3.线性规划的实际应用.
[题组练透]
1．(2019·武汉质检)已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z＝y－x的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．1
C．2 D．－1
解析：由约束条件可得可行域如图阴影部分所示：

由z＝y－x得：y＝x＋z，则z的最小值即为y＝x＋z在y轴截距的最小值，由y＝x平移可知，当y＝x＋z与x－y－1＝0重合时，截距最小，此时截距为－1，∴zmin＝－1.故选D.
答案：D
2．(2019·宝鸡模拟)设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)
A．41 B．5
C．25 D．1
解析：

由题得不等式组对应的可行域如图所示，z＝(x＋1)2＋y2表示区域内的动点(x，y)到点P(－1,0)的最大距离的平方，联立，得点A(3,5)，所以z的最大值为(3＋1)2＋52＝41.故选A.
答案：A
3．(2019·江西模拟)已知实数x，y满足，则2x＋y的最小值是________．
解析：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，

设z＝2x＋y，所以y＝－2x＋z，
当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小，
联立，得A(－2,0)，
所以z最小值＝2×(－2)＋0＝－4.
答案：－4
4．(2019·烟台模拟)若x，y满足约束条件，则z＝的最大值为________．
解析：由已知得，作图如下：

z＝代表的是定点D(－2,0)到可行域内点的斜率的最大值，图中明显可见，
z＝的最大值为kDB＝＝.
答案：
[题后悟通]
快
审
题
1.看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
2．看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．
3．看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义
准
解
题
记牢三种常见的目标函数及其求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值从而求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM
避
误
区
1.忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．
2．求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值

　　　　　　　　基本不等式

授课提示：对应学生用书第9页

考情调研
考向分析
从近年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中、低档．题目突出“小而巧”，主要考查数学运算和逻辑推理等素养．而且命题情境不断创新，注重与函数、充分必要条件、实际应用等交汇.
1.利用基本不等式求最值．
2.基本不等式的应用.

[题组练透]
1．下列函数中，最小值为4的是(　　)
A．y＝x＋　　　　　　　 B．y＝3x＋4×3－x
C．y＝sin x＋(0<x<π) D．y＝log3x＋4logx3
解析：运用基本不等式对各选项考察如下：
对于B选项：f(x)＝3x＋4×3－x≥2＝4,
当且仅当x＝log32 时，取得最小值4，故符合题意；
对于D选项：y＝log3x＋4logx3，只有当x∈(1，＋∞)时，log3x，logx3才为正数，才能运用基本不等式，log3x＋4logx3≥2，故不合题意；
对于A选项：y＝x＋，理由同上，只有x＞0时，f(x)min＝4，故不合题意；
对于C选项：y＝sin x＋≥4(0<x<π)，
sin x＝2 ，无法取“＝”，故不合题意．
故选B.
答案：B
2．若m>0，n>0，＋＝1，则m＋2n的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵m>0，n>0，＋＝1，∴m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即m＝2n时，取“＝”．故选B.
答案：B
3．(2019·保定模拟)若正数a，b满足ab＋a＋b＝3，则a＋b的最小值为________．
解析：因为a，b为正数，所以≤成立．
所以ab≤，
所以3＝ab＋a＋b≤＋(a＋b)，
即(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥2或a＋b≤－6(舍去)．
当时，等号成立，即a＝b＝1时，等号成立．
所以a＋b的最小值为2.
答案：2
[题后悟通]
快
审
题
看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”
准
解
题
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值
避
误
区
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到

　　　　　　　　推理与证明
授课提示：对应学生用书第10页
考情调研
考向分析
以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.
1.直接猜想型．
2．递推型．
3．归纳型．
4．空间与平面的类比．
5．等差与等比的类比.

[题组练透]
1．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为(　　)

A.
B.
C.
D.
解析：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则9 117用算筹可表示为 ，故选A.
答案：A
2．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为(　　)
A．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
B．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
D．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R
解析：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则△ABC的面积为S＝(a＋b＋c)·r，
对应于四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·R，故选B.
答案：B
3．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________________．
解析：由题意知：
12＝1，
12－22＝－(22－12)＝－(2－1)(2＋1)＝－(1＋2)＝－3，
12－22＋32＝1＋(32－22)＝1＋(3－2)(3＋2)＝1＋2＋3＝6，
12－22＋32－42＝－(22－12)－(42－32)＝－(1＋2＋3＋4)＝－10，
……
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)＝(－1)n＋1·.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
[题后悟通]

快
审
题
看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理
准
解
题
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧
2．破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力