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2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题三 立体几何 规范答题示范课—立体几何解答题

2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题三 立体几何 规范答题示范课—立体几何解答题

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规范答题示范课——立体几何解答题
[破题之道]　立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【典例示范】 (12分)(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.
切入点：联想线面平行的判定定理，找线线平行.
关键点：建系，求平面AMA1与平面MA1N的法向量.
规范解答　(1)证明　连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.(2分)

又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC.
因此，B1C∥A1D且B1C＝A1D，
故ME∥ND且ME＝ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，则MN∥ED.(4分)
又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.(5分)
(2)解　由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，，2)，N(1，0，2)，＝(0，0，－4)，＝(－1，，－2)，
＝(－1，0，－2)，＝(0，－，0).(7分)
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，
则
所以可得m＝(，1，0).(9分)
设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，
则所以
可取n＝(2，0，－1).(10分)
于是cos〈m，n〉＝＝＝，(11分)
则sin〈m，n〉＝.
所以二面角A－MA1－N的正弦值为.(12分)
[高考状元满分心得]
❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一定要写全.如第(1)问中ME∥B1C，且ME＝B1C，MN∥ED.第(2)问建立空间直角坐标系D－xyz.
❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问漏掉条件MN⊄平面C1DE；第(2)问中不写公式cos〈m，n〉＝而得出余弦值都会各扣去1分.
❸正确计算是得分的保证：第(2)问中，点N的坐标，两个半平面法向量的坐标及cos〈m，n〉的求值，否则不能得分.
[满分体验]
(2020·天津卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点.

(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求二面角B－B1E－D的正弦值；
(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.
解　依题意，以C为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3).
(1)证明　依题意，＝(1，1，0)，＝(2，－2，－2)，
从而·＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D.
(2)解　依题意，＝(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量，＝(0，2，1)，＝(2，0，－1).

设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则即
不妨设x＝1，可得n＝(1，－1，2).
因此有cos〈，n〉＝＝，
于是sin〈，n〉＝.
所以二面角B－B1E－D的正弦值为.
(3)解　依题意，＝(－2，2，0).
由(2)知n＝(1，－1，2)为平面DB1E的一个法向量，
于是cos〈，n〉＝＝－.
所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.