2021届高考数学统考二轮复习-第二部分-专题7-选修部分-第2讲-不等式选讲教案-理.doc

2021届高考数学统考二轮复习 第二部分 专题7 选修部分 第2讲 不等式选讲教案 理

2021届高考数学统考二轮复习 第二部分 专题7 选修部分 第2讲 不等式选讲教案 理

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专题7第2讲　不等式选讲

　　　　　　　　绝对值不等式的解法

授课提示：对应学生用书第68页

考情调研
考向分析
主要考查解绝对值不等式以及求含有绝对值的函数最值问题．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.
1.含绝对值不等式的解法．
2.利用绝对值不等式求最值.

[题组练透]
1．已知函数f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若不等式f(x)＋x－a<0的解集为(m，n)，且n－m＝6，求a的值．
解析：(1)f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|＝，
则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝3.
(2)因为g(x)＝f(x)＋x－a＝，
令－2x－a<0，则x>－；令4x－a<0，则x<.
所以不等式f(x)＋x－a<0的解集为，
又不等式f(x)＋x－a<0的解集为(m，n)，且n－m＝6，
所以－＝6，
故a＝8.
2．设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
[题后悟通]
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.
(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a.
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

　　　　　　　　与绝对值有关的参数范围问题
授课提示：对应学生用书第69页
考情调研
考向分析
主要考查利用不等式恒成立求参数的值或范围．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.
1.参变分离法．
2.重要不等式法．
3.分类讨论法.

[题组练透]
1．(2020·云南质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－2a＋3|.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)≤9；
(2)当a≠2时，若对任意实数x，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＝3|x－1|，
由f(x)≤9得|x－1|≤3，
由|x－1|≤3得－3≤x－1≤3，
解得－2≤x≤4，
∴当a＝2时，关于x的不等式f(x)≤9的解集为{x∈R|－2≤x≤4}．
(2)①当a>2时，<2a－3，
f(x)＝，
所以f(x)在上是减函数，在是增函数，所以f(x)min＝f＝－3，
由题设得－3≥4，解得a≥.
②当a<2时，同理求得a≤－.
综上所述，a的取值范围为∪.
2．已知函数f(x)＝|2x＋a|＋2a，a∈R.
(1)若对于任意x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(3－x)，求a的值；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤－|2x－1|＋a成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为f(x)＝f(3－x)，x∈R，
所以f(x)的图象关于x＝对称．
又f(x)＝2|x＋|＋2a的图象关于x＝－对称，
所以－＝，所以a＝－3.
(2)f(x)≤－|2x－1|＋a等价于|2x＋a|＋|2x－1|＋a≤0.
设g(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|＋a，
则g(x)min＝|(2x＋a)－(2x－1)|＋a＝|a＋1|＋a.
由题意g(x)min≤0，即|a＋1|＋a≤0.
当a≥－1时，a＋1＋a≤0，a≤－，
所以－1≤a≤－；
当a<－1时，－(a＋1)＋a≤0，－1≤0，所以a<－1，
综上，a≤－.
[题后悟通]
1．f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a.
2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

　　　　　　　　不等式的证明

授课提示：对应学生用书第70页

考情调研
考向分析
主要考查含绝对值不等式的证明问题．一般利用几个常见的不等式进行逻辑推理，在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.
1.综合法和分析法．
2.基本不等式．
3.柯西不等式.

[题组练透]
1．(2020·蚌埠模拟)已知：a2＋b2＝1，其中a，b∈R.
(1)求证：≤1；
(2)若ab>0，求(a＋b)(a3＋b3)的最小值．
解析：(1)证明：所证不等式等价于|a－b|≤|1－ab|，即(a－b)2≤(1－ab)2，
也就是(a2－1)(1－b2)≤0，
∵a2＋b2＝1，∴a2≤1，b2≤1
∴(a2－1)(1－b2)≤0，故原不等式成立．
(2)(a＋b)(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4≥a4＋2＋b4＝(a2＋b2)2＝1，
当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，
(a＋b)(a3＋b3)取到最小值1.
2．设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：
(1)a＋b＋c≥；
(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．
证明：(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，
因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.
而ab＋bc＋ca＝1，
故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
(2) ＋ ＋ ＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥，
因此要证原不等式成立，
只需证明≥＋＋.①
因为a＝≤，
同理b≤，c≤(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)，
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca，
所以a＋b＋c≤1，
两边同时除以得≥＋＋，①式得证．
所以原不等式成立．
[题后悟通]
1．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，a3，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．