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2022届高考数学一轮复习 第七章 7.7 数学归纳法学案

2022届高考数学一轮复习 第七章 7.7 数学归纳法学案

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第七节　数学归纳法

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．归纳法
由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为②________归纳法和③________归纳法．
2．数学归纳法
数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当n取第1个值n0时命题成立；(2)假设当n＝k，(k∈N＋，且k≥n0)时，命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立．
3．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值④________时，命题成立．
(2)(归纳递推)假设⑤________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当⑥________时命题也成立．
只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
二、必明2个易误点
应用数学归纳法时应注意两点：
1．数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.
2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　)
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　)
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　)
二、教材改编
2．下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)
A．x>sin x，x∈(0，π)
B．ex≥x＋1(x∈R)
C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)
D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
3．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为(　　)
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
三、易错易混
4．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋<n(n>1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．

　用数学归纳法证明等式[自主练透型]
1．求证：12＋22＋…＋n2＝.
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

悟·技法
用数学归纳法证明恒等式应注意
　(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且必须用上假设.

考点二　用数学归纳法证明不等式
[互动讲练型]
[例1]　已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an<an＋1.

悟·技法
数学归纳法证明与n有关的不等式两种常见形式
一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
[注意]　用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：(1)放缩法；(2)利用基本不等式；(3)作差比较法等.

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．设整数p>1.
证明：当x>－1且x≠0时(1＋x)p>1＋px.

考点三　归纳、猜想、证明[互动讲练型]
[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．

悟·技法
“归纳—猜想—证明”的一般环节

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得结论．

第七节　数学归纳法
【知识重温】
①一般结论　②完全　③不完全　④n＝n0　⑤n＝k　⑥n＝k＋1
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意．
答案：C
3．解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
答案：C
4．解析：由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.
答案：D
5．解析：当n＝k时，
不等式为1＋＋＋…＋<k.
则n＝k＋1时，左边应为：
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
则增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.
答案：2k
课堂考点突破
考点一
1．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝，
则当n＝k＋1时，
12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝，
所以当n＝k＋1时，等式仍然成立，
由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
2．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
考点二
例1　证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a2＝，即a1<a2成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，
所以a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
又ak＋1>ak≥0，
所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，
所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立．
综上，由(1)(2)可知an<an＋1对任何n∈N*都成立．
变式练
1．证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
(2)假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合(1)(2)可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．

考点三
例2　解析：(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0)．
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*)．
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．
变式练
2．解析：(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝，a2＝，a3＝，推测an＝＝2－(n∈N*)．
(2)证明：an＝2－(n∈N*)，
①当n＝1时，a1＝2－＝，结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝2－，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－，∴ak＋1＝2－，
∴当n＝k＋1时结论成立．
由①②知对于任意正整数n，结论都成立．