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2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题二 数列 规范答题示范课—数列解答题

2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题二 数列 规范答题示范课—数列解答题

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规范答题示范课——数列解答题
[破题之道]　求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的方法、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解.

【典例示范】 (12分)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式.
规范解答　(1)由nan＋1＝2(n＋1)an，且bn＝，
得＝2·，则bn＋1＝2bn. 2分
又a1＝1，知b1＝1，
因此b2＝2b1＝2，b3＝2b2＝4.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.4分
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.5分
理由如下：
由(1)知，bn＋1＝2bn，又b1＝1≠0，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 8分
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.12分
[高考状元满分心得]
❶写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出bn＋1＝2bn，由条件a1＝1，分别求出b1，b2，b3.
❷写明得分关键：数列解答题要严谨，如第(2)问“首先明确指出数列{bn}的首项和公比(基本量)，再写出bn＝2n－1.
❸计算正确是得分的保证：如第(1)问正确求得b1，b2，b3；第(3)问准确求出an＝n·2n－1，否则不能得分.
[满分体验]
1.(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
解　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
由已知得解得
所以{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m
＝(m＋3)(m＋2)，
即m2－5m－6＝0.
解得m＝－1(舍去)或m＝6.
2.(2020·石家庄质检)已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正的零点构成递增数列{an}(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)f(x)＝cos πx－sin πx＝2cos，
由题意令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝k＋(k∈Z).
又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列{an}，
所以{an}是首项a1＝，公差d＝1的等差数列，
因此an＝(n－1)×1＋＝n－(n∈N*).
(2)由(1)知bn＝＝n·，
则Tn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·，①
Tn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·，②
由①－②得
Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－(n＋2)·，
所以Tn＝2－.