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2022届高考数学一轮复习 第十一章 11.3 随机抽样学案

2022届高考数学一轮复习 第十一章 11.3 随机抽样学案

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第三节　随机抽样

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③________法和④______________法．
(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤______________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
2．系统抽样
(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
(ⅰ)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
(ⅱ)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥________；
(ⅲ)在第1段用⑦________确定第一个个体编号l(l≤k)；
(ⅳ)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨________，依次进行下去，直到获取整个样本．
(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩________.
3．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由⑪________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是⑫________的．
二、必明2个易误点
1．认清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者间的区别与联系，是正确选择抽样方法的前提．
2．在系统抽样中，应先确定分段间隔，然后再确定入样个体编号间的关系．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．(　　)
(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．(　　)
(3)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．(　　)
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)
(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．(　　)

二、教材改编
2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(　　)
A．随机抽样 B．分层抽样
C．系统抽样 D．以上都不是
3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方法从全体员工中抽取样本量为n的样本．如果某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．
三、易错易混
4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)
A．33,34,33 B．25,56,19
C．30,40,30 D．30,50,20
5．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
四、走进高考
6．[2017·江苏卷]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

　简单随机抽样[自主练透型]
1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有(　　)
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的同一批次的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3．[2021·贵阳市适应性考试]为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场的监管力度，为了考察生产口罩的某工厂生产的600个口罩是否合格，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，再从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号为(　　)
A．578 B．324 C．535 D．522

　悟·技法
解决简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
考点二　系统抽样[自主练透型]
4．[2021·湖南永州模拟]现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,10,18,26,34
5．[2021·湖北重点中学模拟]某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．
6．[2019·全国卷Ⅰ]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)
A．8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生

悟·技法　
1.系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
2．系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.
考点三　分层抽样[自主练透型]
7．[2018·全国卷Ⅲ]某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
8．[2021·五省六校(K12联盟)联考]某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n＝(　　)
A．12 B．18 C．24 D．36
9．[2021·重庆中山外国语学校模拟]如饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本．其中被选出的青年女教师的人数为(　　)

A．12 B．6 C．4 D．3

第三节　随机抽样
【知识重温】
①不放回　②都相等　③抽签　④随机数表　⑤搅拌均匀　⑥　⑦简单随机抽样　⑧加上间隔k　⑨(l＋2k)　⑩系统抽样　⑪差异明显　⑫均等
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
(5)×　(6)√
2．解析：因为抽取学号是以＝5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
答案：C
3．解析：由题意知每个个体被抽到的概率是，∵某部门有m个员工，设这个部门抽取了x个员工，又采用了等比例分层抽样的方法．∴＝，∴x＝.
答案：
4．解析：因为12528095＝255619，所以抽取人数分别为25人，56人，19人，故选B.
答案：B
5．解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝，故选A.
答案：A
6．解析：∵ ＝＝，
∴ 应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．
答案：18
课堂考点突破
考点一
1．解析：A，D中的总体中个体总数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B.
答案：B
2．解析：由题意知＝，∴n＝28.∴P＝＝.
答案：B
3．解析：第6行的第6个数开始的三位数分别为808,436,789,535,577,348,994,837,522，…，符合条件的编号分别为436,535,577,348,522，…，第5个样本数据为522.
答案：D
考点二
4．解析：抽样间隔为＝10，故选B.
答案：B
5．解析：系统抽样的抽取间隔为＝6.
设抽到的最小编号为x，
则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.
答案：3
6．解析：将1 000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．故选C.
答案：C
考点三
7．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．
答案：分层抽样
8．解析：由分层抽样知＝，解得n＝36，故选D.
答案：D
9．解析：青年教师的人数为120×(1－40%－30%)＝36，
所以青年女教师为12人．故青年女教师被选出的人数为12×＝3.故选D.
答案：D