数学探讨微积分中的无穷小思想.doc

楚州大学2015届学生毕业设计目 录第一部分毕业论文任务书及开题报告1毕业论文任务书2毕业论文开题报告第二部分文献综述 第三部分探讨微积分中的无穷小思想1实无穷小思想的产生1.1中国古代无穷小思想1.2国外无穷小思想的初始1.3无穷小真的存在吗？芝诺悖论2 无穷小的概念2.1无穷小的疑问2.2莱布尼茨关于无穷小的思考2.3牛顿对于无穷小的思考2.4微积分的创立2.5无穷小的概念的确立3无穷小的应用3.1徽率的由来3.2无穷小在经济学中的应用3.3无穷小在生命科学中的应用3.4无穷小在几何中的应用3.5无穷小在立体几何上的应用4总结参考文献第四部分英文文献原文及译文1英文文献原文（两篇）2英文文献译文第五部分毕业论文中期检查和指导记录1中期检查表2指导记录附 录论文答辩材料（答辩资格审查表、答辩记录和评分表）楚 州 大 学毕业设计（论文）任务书（2015届）题 目 探讨微积分中的无穷小思想 指导教师 院 别 专 业 数 学 班 级 学 号 姓 名 年 月 日至 年 月 日共 周一、 论文（设计）方向：无穷小思想贯穿微积分的初始，无穷小的正确定义对微积分的创立、发展有着重要的影响.可以说无穷小思想的发展打开了微积分之门.因此，有必要探讨微积分中的无穷小思想.主要参考资料：1宋秀英.微积分思想魅力无穷J.四川信息职业技术学院数学教研室,2011,(8):253-2552匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考J.数学教育学报,2007,16(2):1-3.3陈水林,易同贸.高等数学M.武汉:湖北科技出版社,2007.4王爱芳.无穷小概念对微积分学发展的影响J.琼州大学学报,2003,10(2):8-9.5波耶.微积分概念史M.上海:上海人民出版社,1977.6陈学云.无穷小量的命运及对数学发展动力的思考J.北京:自然辩证法研究,2005,21(1):41-43.7叶少铣.百年之争谁发明了微积分J.湖北教育学院学报,1991.8C.H.爱德华著,张洪林译.微积分发展史M.北京:北京出版社,1987.9卡尔.B.波耶著,上海师大数学系译.微积分概念史M.上海:上海人民出版社,1977.10周述歧.微积分思想简史M.北京:中国人大出版社,1987.11王海琴.从文化史的角度看近代微积分效用的神秘性J.北京:自然辩证法研究,2004,20(4):26-30. 12陈学云.无穷小量的命运及对数学发展动力的思考J.北京:自然辩证法研究,2005,21(1):41-43,72.13Kline M.古今数学思想M.上海:上海科学技术出版社,1979-1981.14刘洪元.从开立圆术看中国古代数学的微积分思想J.沈阳大学学报,2005,17(2):94-97.15李家宏.关于无穷小概念的历史注记J.中国科学院数学研究所,1998,17(2):129-138.16叶少钦.浅析无穷小概念的建立J.湖北教育学院学报,2007,24(2):7-8.17Marvin L.Bittinger著,杨奇、毛云英译.微积分及其应用M.北京:机械工业出版社,2006.18龚升、林立军著.简明微积分发展史M.长沙:湖南教育出版社,2005.二、 课题的内容和任务要求：课题内容1. 无穷小思想的产生2. 无穷小的概念3. 无穷小的应用4. 总结课题任务与要求1.端正态度，学习撰写毕业论文的规范及工作细则，了解相关要求。2.能够运用大学所学的专业知识、教育学、心理学知识并结合综合性实习所得体会进行写作，使得写出的论文具备理论性、创新性、科学性和应用性。3.广泛查阅书籍、学术期刊杂志、互联网等资料，独立完成毕业论文任务。4.撰写开题报告、文献综述（2000字以上）、毕业论文正文（8000字以上）。要求论文结构严谨，逻辑性强，论文层次清晰，语言准确，文字流畅，对研究问题有独到之处。论文符合丽水学院毕业论文撰写规范。5.要求翻译外文文献2篇（附原文），总字数2000字以上，最好有一篇是全文翻译。6.本论文全部完成后，完成论文的整理、装订工作，圆满完成毕业论文的全过程。三、 毕业论文（设计）进度安排：起 讫 日 期工 作 内 容备 注12月10日-2月28日确定题目，教师下达任务，学生学习撰写规范及工作细则，查阅参考文献3月1日-3月12日着手整理资料，编写文献综述、开题报告及任务书，形成论文框架3月13日-3月31日撰写文献综述和论文初稿4月1日-4月15日根据指导教师意见修改论文，得到第二稿，进行中期检查4月16日-修改论文，论文定稿，完成外文翻译打印、送审，准备论文答辩学生（签名）： 年 月 日指导教师（签名）： 年 月 日系毕业设计（论文）工作指导小组意见：组长（签名） 年 月 日 二级学院毕业论文工作领导小组审核意见：主管领导（签名） 年 月 日 注：1.指导教师填写，任务下达人为指导教师，指导教师和接受任务的学生均应签字。2.此任务书最迟必须在学生毕业设计（论文）开始前下达给学生。毕业设计（论文）开 题 报 告 （2015届）题 目 探讨微积分中的无穷小思想 指导教师 院 别 班 级 学 号 姓 名 二一 年 月 日一、 选题的意义 微积分学在创立之初, 其数学思想理论体系的确是不严密的、直观的.它强调形式的计算而不管基础的可靠.其中特别是: 没有清楚的无穷小概念, 从而导数、微分、积分等概念不清楚; 不考虑函数可导性就进行微分, 不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等.对于这些问题, 崇拜于微积分学完美之处的数学大师们在微积分创立之初也难以圆其逻辑矛盾, 而导致微积分学发展中的挫折, 其中问题的关键是对微积分学的数学理论基础无穷小概念的模糊.无穷小概念的正确定义, 是微积分学形成完整科学体系的理论基础.正是在对无穷小概念研究的基础上, 逐步科学定义和完善了函数、极限、函数连续性、导数、积分等理论概念, 使微积分学作为数学分析理论工具更具严密.由此,无穷小思想在微积分的创立中起到了非常重要的作用,是微积分发展中影响最大的一个因素之一.它甚至引发了第二次数学危机.总而言之,通过微积分中无穷小思想的研究,能够地展示一个研究数学的清晰的思路,正确定义无穷小带来了微积分的蓬勃发展,适当借鉴这一思路,对于将来的数学研究是非常有意义的.二、 研究的主要内容,拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文主要解决的问题是无穷小思想的正确定义是如何影响着微积分的创立.主要研究内容:1、早期的无穷小思想及其应用研究2、微积分中无穷小思想发展研究无穷小概念的不清楚, 从而导数、微分、积分等概念不清楚; 不考虑函数可导性就进行微分, 不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等.这些问题导致微积分学发展中的挫折, 其中问题的关键是对微积分学的数学理论基础无穷小概念的模糊.通过对无穷小思想的发展研究,指出无穷小概念的形成在微积分的创立中起到了非常重要的作用.3、无穷小思想的应用研究 微积分的创立对人类社会的进步和人类物质文明的发展都有极大的推动作用.在社会领域经常运用微积分的原理来研究整个社会、整个经济的宏观和微观变化.此外,还广泛的运用于各种工程技术上面,从而直接的影响着人类的物质生活.意在突出无穷小思想的重要意义.三、 研究（工作）步骤、方法及措施（思路）研究步骤:1.前期准备:征求导师的意见,明确论文方向进而制定研究计划,查阅相关文献资料,确定研究课题,拟论文提纲.2.中期准备:进行文献综述与开题报告的撰写,通过到图书馆借阅资料,再整合搜集到的研究材料,完成文献综述及开题报告并及时向指导老师征求意见进行修改.3.撰写初稿:严格按照论文格式,在已有的研究成果的基础上结合自己的想法,完成初稿.4.最终定稿:按照指导老师的意见,对初稿各个细节进行修改,最终定稿.5.外文翻译:通过翻译软件完成外文翻译并上交.6.后期工作:上交所以相关材料,准备毕业论文答辩.研究方法:1.文献分析法:任何研究都不可能脱离前人的思想与观点而独立形成的.为确保本研究能够在前人研究的基础上有所创新,在进行本研究的过程中,笔者广泛地浏览了大量的中外文期刊、我校图书室丰富的藏书,并详细阅读了关于无穷小思想等方面的文献.对多渠道收集的各种研究进行客观的分类、整理、比较、深入分析,从而找到本研究的方向和基本依据.2.文献资料法:学习已有的文献资料,了解历史,进行借鉴,并适当加以深化.研究措施（思路）: 查阅与论题有关的书籍;再查找相关资料,积累资料.从中心论点出发决定材料的取舍.了解关键论点思想和有关无穷小思想课题的学术研究的动态以及注意一些比较容易引起错误的部分.最后借鉴别人的资料结合自身知识及学习经验完成本论文.四、 毕业论文（设计）提纲1.无穷小思想的产生1.1中国古代无穷小思想1.2国外无穷小思想的初始1.3无穷小真的存在吗？芝诺悖论2.无穷小的概念2.1无穷小的疑问2.2莱布尼茨关于无穷小的思考2.3牛顿对于无穷小的思考2.4微积分的创立2.5无穷小的概念的确立3. 无穷小的应用3.1徽率的由来3.2无穷小在经济学中的应用3.3无穷小在生命科学中的应用3.4无穷小在平面几何中的应用3.5无穷小在立体几何上的应用4.总结五、主要参考文献1宋秀英.微积分思想魅力无穷J.四川信息职业技术学院数学教研室,2011,(8):253-2552匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考J.数学教育学报,2007,16(2):1-3.3陈水林,易同贸.高等数学M.武汉:湖北科技出版社,2007.4王爱芳.无穷小概念对微积分学发展的影响J.琼州大学学报,2003,10(2):8-9.5波耶.微积分概念史M.上海:上海人民出版社,1977.6陈学云.无穷小量的命运及对数学发展动力的思考J.北京:自然辩证法研究,2005,21(1):41-43.7叶少铣.百年之争谁发明了微积分J.湖北教育学院学报,1991.8C.H.爱德华著,张洪林译.微积分发展史M.北京:北京出版社,1987.9卡尔.B.波耶著,上海师大数学系译.微积分概念史M.上海:上海人民出版社,1977.10周述歧.微积分思想简史M.北京:中国人大出版社,1987.11王海琴.从文化史的角度看近代微积分效用的神秘性J.北京:自然辩证法研究,2004,20(4):26-30. 12陈学云.无穷小量的命运及对数学发展动力的思考J.北京:自然辩证法研究,2005,21(1):41-43,72.13Kline M.古今数学思想M.上海:上海科学技术出版社,1979-1981.14刘洪元.从开立圆术看中国古代数学的微积分思想J.沈阳大学学报,2005,17(2):94-97.15李家宏.关于无穷小概念的历史注记J.中国科学院数学研究所,1998,17(2):129-138.16叶少钦.浅析无穷小概念的建立J.湖北教育学院学报,2007,24(2):7-8.17Marvin L.Bittinger著,杨奇、毛云英译.微积分及其应用M.北京:机械工业出版社,2006.18龚升、林立军著.简明微积分发展史M.长沙:湖南教育出版社,2005.指导教师意见:签名: 年 月 日系毕业设计（论文）工作指导小组意见: 签名:年 月 日二级学院毕业设计（论文）工作领导小组意见:签名:年 月 日文献综述数学本身就是其它学科发展的理论基础,微积分的建立推动了其它学科的发展,换而言之,其它学科运用微积分的方法推导演绎出各种新的公式、定理等,取得了长足的进步.因此,微积分的地位被史无前例地抬升到了一个高度.宋秀英在微积分思想魅力无穷中指出:“微积分的思想魅力无穷,它犹如一朵奇葩,竞相开放在生活中的每一个角落.微积分数学思想方法的渗透要比数学知识的传授更为重要,因为数学知识是定型的、静态的,而思想方法则是发展的、动态的,知识的记忆是暂时的,思想方法的掌握是永久的,知识只能使学生受益一时,思想方法将使人们受益终生.” 陈学云在无穷小量的命运及对数学发展动力的思考中写到“极限方法实质上是对无穷小量进行分析”,“无穷小量的精确定义奠定在精确的极限概念基础之上”.事实上,将无穷小量定义为以极限为零的变量,仅仅是在潜无的意义下,人们对无穷小量的一个认识阶段对此,本文后面还要详细分析而极限的分析定义,在本质上是将变量的无限变化过程用有限次的不等式运算来刻画由于有限次不等式运算是可以操作的,才有可能对极限的性质进行必要的逻辑推理建立在极限概念之上的许多微积分的基本概念,如连续性、导数、积分、无穷级数的收敛性等等,才有了牢固的逻辑基础因此,极限理论才有可能成为微积分以至整个现代分析的理论基础微积分学在创立之初,其数学思想理论体系的确是不严密的、直观的.它强调形式的计算而不管基础的可靠.其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;不考虑函数可导性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等.对于这些问题,数学大师们在微积分创立之初也难以圆其逻辑矛盾,而导致微积分学发展中的挫折,其中问题的关键是对微积分学的数学理论基础无穷小概念的模糊.在莱布尼茨的理论中:“无穷大是否不断变大,越变越大,无穷小是否不断变小,越变越小,考虑这个问题是正当的,但我认为这也许是未决的问题;可是对于想要讨论这个问题的人来说,毫无必要使它陷人形而上学的争论中当我们谈到无穷大或无穷小量(即我们所知的最小量)时,只要把无穷大量理解为要多大就有多大这样的无限地大的量,把无穷小量理解为要多小就有多小这样的无限地小的量”.从这段话来看,莱布尼茨对无穷大和无穷小量是固定的还是变动的,是潜在的还是实在的,是虚拟的还是客观的并没有作绝对肯定的结论.事实上,人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程,远在二千多年以前,墨经庄子天下篇中都有关于无穷表述的记载.庄子天下篇中有言:“至大无外,谓之大一,至小无内,谓之小一”,大到没有外面,自然是无穷大,小到没有里面,当然是无穷小了.又说:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”.“万世”实际指任何时候,强调分割的程序的无限性.再如Hilbert所指出的:“无穷！还没有别的问题如此深地打动人们的心灵;也没有别的想法如此有效地激发人的智慧;更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.”,他还指出“数学是处理无穷的科学”数学史上所谓3次危机都与无穷有关,它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难牛顿在无穷小量的问题上说法十分含糊,他的无穷小量,有时是零,有时不是零而是有限的小量.他说:“假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续减小,直至它终于完余消失,达到可 以把它们称之为零量的程度,或者它们是 无限的小,比任何一个指定的量都小.”由此也有了许多悖论:阿基里斯追龟说:阿基里斯（Achilles）是荷马（Homer,古希腊诗人）史诗伊利亚特（Iliad,描写Troy的战争的叙事诗）中的英雄,以擅跑闻名.芝诺说阿基里斯追龟永远追不上.比如,阿基里斯的速度是龟的十倍,龟在前面100码,龟又前进了1码;再追1码,龟又前进了十分之一码,这样永远隔着一段距离,总也追不上.无穷小思想影响着微积分创立的整个过程.在当时,无穷小虽然概念不清晰,但是还是被广泛运用到实际中去:德国天文学家、数学家开普勒在(Kepler,1571-1630)1615年发表的酒桶的立体几何中,论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积,他认为球的体积是无数个顶点在球心,底面在球上的小圆锥的体积的和,从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3;他将圆周看成是有无限多个边的正多边形,于是圆就被视为以这些多边形的边为底,顶点在圆心的三角形之和,从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等体积,虽然这些计算都是不严格的,但是他得出的结果却是正确的王爱芳在无穷小概念对微积分学发展的影响中指出:“无穷小概念的正确定义,是微积分学形成完整科学体系的理论基础.正是在对无穷小概念研究的基础上,逐步科学定义和完善了函数、极限、函数连续性、导数、积分等理论概念,使微积分学作为数学分析理论工具更具严密.”可见,无穷小思想对于微积分的创立是何等的重要.人们对无穷小量不断深化的认识过程,完全符合人们实践、认识、再实践、再认识的辩证法20世纪的数学成就,远远超过了以前2500年中的全部建树.目 录1.无穷小思想的产生1.1中国古代无穷小思想1.2国外无穷小思想的初始1.3无穷小真的存在吗？芝诺悖论2.无穷小的概念2.1无穷小的疑问2.2莱布尼茨关于无穷小的思考2.3牛顿对于无穷小的思考2.4微积分的创立2.5无穷小的概念的确立3. 无穷小的应用3.1徽率的由来3.2无穷小在经济学中的应用3.3无穷小在生命科学中的应用3.4无穷小在平面几何中的应用3.5无穷小在立体几何上的应用4.总结楚 州 大 学 毕业设计（论文）（2015届）题 目 探讨微积分中的无穷小思想 指导教师 院 别 班 级 学 号 姓 名 二一 年 月 日探讨微积分中的无穷小思想【摘要】本文从古代无穷小思想出发,以微积分的发展为线索,阐述了无穷小思想在产生、发展、停滞不前到概念的确定的过程中对微积分创立的影响.通过对微积分中的无穷小思想发展的论述,证实了无穷小思想对微积分的重要作用.借鉴无穷小思想的发展对微积分创立的影响意在为现今的数学发展提供建议.【关键词】无穷小思想;微积分;无穷小量;无穷小的应用Discussion On The Infinitesimal Thought Of Calculus【Summary】This article from the ancient infinitesimal calculus theory, taking the development as the clue, expounds the infinitesimal thought to influence to the creation of calculus concepts defined in the process of generation, development, remain stagnant. Based on the calculus of infinitesimals thought development paper, confirming the importance of infinitesimal calculus thought of. Reference to influence the development of infinitesimal calculus thought to provide suggestions to the development of mathematics today.【Key words】Infinitesimal thinking; Calculus; infinitesimal; application of infinitesimal1.无穷小思想的产生1.1中国古代无穷小思想 中国战国时代庄子天下篇中记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”正体现了早期的无穷小思想.在这里,无穷小通常指代的是零. 公元263年,魏晋时期的刘徽,中国古代卓越的数学家,在九章算术方田章“圆田术”注中运用了无穷小思想创造性地提出了“割圆术”,从此来求圆的周长、面积、圆周率. 刘徽从圆内切正六边形开始,依次加倍圆内切正多边形的边数,可见正多边形边数越多,割得越细,多边形越贴近圆,多边形的周长、面积与圆的周长、面积之差越小.当割得不可再割之时,这个差就可以忽略不计,也就是说多边形的周长、面积与圆的周长、面积相等.所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”正是此意.换而言之,此时的多边形的周长与圆周长的差值已经近乎于零.1.2国外无穷小思想的初始 现代积分思想的初始应该从古希腊原子论学派的创立者德谟克利特的原子论观点开始算起,德谟克利特认为,宇宙万物是由原子构成的,它是不可再分的,无空隙的坚固的物质组成的,原子有大小及形状的不同, 而没有质的区别.由此可见无穷小思想的缩影. 德谟克利特将立体的体积看成有限个原子体积的累积,面分成线段,体积分成薄片.德漠克利特第一个得出圆锥或棱柱体积是同底等高的圆柱或棱柱体积的三分之一的结论.虽然我们不知道德漠克利特是怎样得到这一结论的, 但后来的历史表明, 他很可能是累加平行于底的平面薄片( 原子) 而得到的. 原子论支持物质存在不可分量.但是, 当时人们对“ 物质是由不可分的原子组成的, 还是无限可分的” 是有争论的.不管哪种观点都有解释不了的现象和搞不清的问题. 卡佩拉塞维利亚的伊西多雷、彼得以及其他人更相信,时间是由不可分的量组成的,一个小时由22560个这样的瞬间构成.这些所谓的瞬间就像是原子论中不可再分的原子,是时间的原子.其实,有很多思想方法都可以看到原子论的缩影. 布拉德沃丁认为,连续量不是由不可分量累积或者组成的.他认定一定连续量是由无数个同类连续流组成的.对他来说,就像亚里士多德一样,无穷小显然只具有潜在的存在性. 12世纪和13世纪,人们感兴趣的是神学和玄学,而中世纪的思想中,不存在算数的严格公理基础的概念.14世纪关于不可分量的争论,代表了对有关难题的激烈的评价,也代表了一种清晰的思想,几个世纪之后,这种可敬的特性在引向微积分的无穷小方法上表现了出来.1.3无穷小真的存在吗？芝诺悖论 无穷小思想在还未形成严格的无穷小概念之前,只是一种解决极限问题的思想,在运用的过程中,更多问题暴露了出来.这些问题也标志着人们开始关注极限方面.无穷小存在与否,抑或是一个量是否无限可分,有两种完全对立的观点:第一种以为可以无限分割;另一种认为分到一定程度就不能再分,如选段是由点构成的,而点是不能再分的.在与极限有关的众多例子中,芝诺悖论是最具代表性的.芝诺(Zeno of Elea,约前490-约前430)提出了40个悖论,其中与运动有关的4个最著名.针对第一种观点,即无限可分,芝诺提出两个悖论:(1) 二分说（dichotomy）:一个物体从A地到B地,永远不能到达.因为,欲从A地到B地,必先通过道路的二分之一;但要通过二分之一必先通过二分之一的二分之一,即全程的四分之一;欲通过四分之一必先通过八分之一,这样分下去,永无止境.由此芝诺得出结论,此物根本不能运动,因为他被道路的无限分割阻碍着.(2) 阿基里斯追龟说:阿基里斯（Achilles）是荷马（Homer,古希腊诗人）史诗伊利亚特（Iliad,描写Troy的战争的叙事诗）中的英雄,以擅跑闻名.芝诺说阿基里斯追龟永远追不上.比如,阿基里斯的速度是龟的十倍,龟在前面100码,龟又前进了1码;再追1码,龟又前进了十分之一码,这样永远隔着一段距离,总也追不上.针对第二种观点（不能无限分割）,芝诺提出两个悖论.（3）飞矢不动说:如果时间分割到最后,得到不可再分的单元,那么在这个单元内,飞矢只能占据一个特定的位置,因此它是不动的.否则若占据两个不同的位置,则可将时间单元再分割成前后两段,这与原先的假设不符,于是所谓运动无非是许多静止的总和.（4）运动场（stadium）问题:一段时间与其一半相等A A B B C C 设有三队士兵A、B和C,开始时首尾对齐,设在最小的时间单元里,A队向左移动了一位,B队向右移动了一位.相对于B而言,A移动了两位.于是使A相对于B移动一位的时间应该是时间单元的一半.假定时间单元不能再分,那么它的一半就等于它的本身.2.无穷小的概念2.1无穷小的疑问 对于一个量, 它是无限可分的, 还是由非常多的极微小的不可分的部分组成?第一个假定, 对大多数人而言, 似乎比较合理; 然而, 第二个假定在发现新事物过程中很有用, 这使它表面上的一些荒谬之处显得不那么重要.埃利亚数学家芝诺的两分法与阿基里斯追不上乌龟诘难了关于时间和空间无限可分, 因而运动是连续的观点: 飞失不动与操场或游行队伍两悖论却又诘难了时间和空间不能无限可分, 因而运动是间断的观点.引发了第二次数学危机.这无疑是对涉世不久且理论、概念还不完善的微积分学的一次近夭折性打击.它们说明了希腊人已经看到无穷小与很小很小的矛盾, 但他们无法解决这些矛盾.其后果是:希腊证明几何中从此就排除了无穷小.无穷小量究竟是不是零? 这是问题的关键2.2 莱布尼茨关于无穷小的思考 亚里士多德在其物理学中早已将无穷小分为实无穷和潜无穷两种, 但“ 无穷”长期以来只是一个哲学上的概念.莱布尼茨继承了开普勒的“ 无穷小量” 的说法, 并应用于他的无穷小分析之中.莱布尼茨认真地研究了伽利略等人的著作, 并努力给无穷, 无穷小下一个清楚的定义.他用了“ 有界量” (terminata)和“ 无界量” (interminata)来解释无穷大和无穷小的概念: 一个无穷的量是一个比任何指定的量或任何可由数表示的量还大的, 有界的或无界的量. 这里有界和无界的区别在于: 一个无界的无穷量是找不出边界上的最后一点的, 而一个有界无穷量是一种虚构的量, 是用来度量无限长度的. 莱布尼茨认为有界的无穷, 而不是无界的无穷, 才是数学的对象, 这说明了他在数学上倾向于承认所谓“ 实无穷” 的概念.鲁宾逊在非标准分析第10章中对莱布尼茨的工作给予了很高的评价.在10.5节中, 他总结道:“ 上面所给的引文和评论, 已经修正了第一节中所描绘的图象.这个修正包括: (l) 莱布尼茨所提关于无限小和无限大数的理论, 是一个严格的尝试, 其目的是为微积分提供一个基础, 使它避免穷竭法遗留下来的复杂性.(2) 莱布尼茨的理论, 虽然缺乏协调, 但是可以看作是非标准分析, 的真正先驱.”在10.2节中, 鲁宾逊自己曾引述莱布尼茨的话:“ 我们没有必要在这里把无限严密化, 它只是象在光学中所说: 太阳的光线来自无限远处,因而可以估计为平行线, 当我们谈到有不同层次的无限大和无限小的时候, 就象对恒星而言, 把太阳看作一个点, 对地球半径而言, 把普通的球看作一个点; 这样, 恒星的距离对于普通球的半径而言, 是无限地无限大, 或无限倍的无限大.因为我们也可以不用无限大或无限小, 而用充分大和充分小的量, 使得误差小于给定的误差限度, 所以我们和阿基米德的方式的不同之处, 仅仅在表达方面,而我们的表达, 更为直接, 更合于发明家的艺术.莱布尼茨的理论中, 无穷小占有中心地位, 所以“ 我们没有必要在这里把无限严密化” 这句话恰恰说明了莱布尼茨并没有想给无穷小分析提供一个严密的基础.事实上, 在他的脑里, 该怎样理解无穷小也不是完全清晰的.而“ 因为我们也可以不用无限大或无限小, 而用充分大和充分小的量, 使得误差小于给定的误差限度” 说明莱布尼茨认为他的理论也可以建立在古代的穷竭法的基础上, 而无穷小不一定必须成为严格的理论基础, 它只是缩短论证的工具.自然科学史研究17卷“无穷大是否不断变大, 越变越大, 无穷小是否不断变小, 越变越小, 考虑这个问题是正当的, 但我认为这也许是未决的问题; 可是对于想要讨论这个问题的人来说, 毫无必要使它陷人形而上学的争论中, 诸如连续统的构成或依靠连续统建立几何实体等.当我们谈到无穷大或无穷小量( 即我们所知的最小量) 时, 只要把无穷大量理解为要多大就有多大这样的无限地大的量, 把无穷小量理解为要多小就有多小这样的无限地小的量, 因而任何可以指定的误差总能小于预先确定的量, 这就可以了.又由于一般看来, 当指定任何小的误差时, 总能证明无穷小量更小些, 因此误差只能是零,如果有人想把这些理解为终极事物或真实无限,这也可以办到, 而且也不必陷入关于广延, 或一般地关于无限连续统以及关于无穷小的实在性的争论, 即使他认为这些事物是全然不可能的; 为此只须简单地把无穷大量和无穷小量用作便于计算的工具, 就象代数学家为了便利而使用虚根那样.因为无穷大量和无穷小量包含方便的计算工具, 而在各种情形下它都能用已经叙述的方法严格地、清楚地加以验证”.从这段话来看, 莱布尼茨对无穷大和无穷小量是固定的还是变动的, 是潜在的还是实在的, 是虚拟的还是客观的并没有作绝对肯定的结论.他认为也没有必要在理论上完全搞清这个问题.他认为检查自然里是否允许有这些量那是哲学家的事, 数学家只关心从已有的假定可以得到什么样的结果2.3 牛顿对于无穷小的思考在 流数法中,牛顿明确地说犷“流数法赖以建立的主要原理,乃是取 自理论力学中的一个非常简单的原理,这就是奋数学量,特另提外延量,都可以看由连续运动的轨迹产生的;一而且不管甚么量,都可以认为是在同样方式之一下产生的,至少经过类比与调整之后可以如此一这里,本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续减小,直至它终于完余消失,达到可 以把它们称之为零量的程度,或者它们是 无限的小