2021届高考数学二轮总复习-第一部分-高考层级专题突破-层级二-7个能力专题-师生共研-专题三-数.doc

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列 课时跟踪检测等差数列与等比数列

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列 课时跟踪检测等差数列与等比数列

年级：
姓名：

第一部分　高考层级专题突破
层级二　7个能力专题　师生共研
专题三　数　列
第一讲　等差数列与等比数列
课时跟踪检测(八)　等差数列与等比数列
一、选择题
1．(2019·开封市高三定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选A　解法一：因为a2＋S3＝0，所以a1＋2a1q＋a1q2＝0.因为a1≠0，所以1＋2q＋q2＝0，所以q＝－1，故选A．
解法二：因为a2＋S3＝0，所以a2＋＋a2＋a2q＝0，因为a2≠0，所以(q＋1)2＝0，所以q＝－1，故选A．
2．(2019·惠州市一调)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1,2a3，a5,3a4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－1 D．2n
解析：选A　解法一：设数列{an}的公比为q(q>0)，
∵2a5＝2a3＋3a4，
∴2a3q2＝2a3＋3a3q，∴2q2＝2＋3q，∴q＝2或q＝－(舍去)，
∴Sn＝＝2n－1.故选A．
解法二：当n＝1时，21－1－1＝0≠a1,21＝2≠a1，排除B、D；若Sn＝2n－1，则S2＝22－1＝2，得到a2＝2－1＝1，这时a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝1，不满足2a3，a5,3a4成等差数列，排除C，故选A．
3．(2019·广东百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠0，S2＝a4，则＝(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以＝＝＝.
4．(2019·福建省福州市华侨中学期中)已知{an}是等差数列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n项和Sn最大的n是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B　因为a1>0，S5＝S9，所以公差小于零，数列{an}的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为n＝7，故n＝7时，Sn最大．
5．(2019·四川省泸州市一诊)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　)
A．1.5尺 B．2.5尺
C．3.5尺 D．4.5尺
解析：选B　设各节气日影长为等差数列{an}，Sn是其前n项和，则S9＝＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5，即芒种日影长为2.5尺，故选B．
6．(2019·湖南省邵阳市高三大联考)已知数列{an}满足a1＝1，an>0，－＝1，那么使an<32成立的n的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　因为数列{}是首项和公差均为1的等差数列，所以＝n，所以an＝n2，所以使an<32成立的n的最大值为5.
二、填空题
7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
答案：10
8．(2019·武汉市部分学校高三调研测试)等比数列{an}中，若a2＝－2，a6＝－6，则a4＝________.
解析：解法一：设公比为q，由题意可得a6＝a2q6－2，即－6＝(－2)q4，得q4＝3，得q2＝或q2＝－(舍去)，故a4＝a2q2＝(－2)×＝－2.
解法二：设公比为q，由题意可得a＝a2a6＝(－2)×(－6)＝12，故a4＝2或a4＝－2.又＝q2>0，所以a4＝2不合题意，舍去，故a4＝－2.
答案：－2
9．(2019·长春市高三第一次质量监测)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
解析：解法一：设数列{an}的公比为q(q>0且q≠1)，由题意可得①÷②，得＝＝，又由q>0，得q3＝2，再由＝＝＝，得S3＝S6＝10.
解法二：由题意可得(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(30－S3)2＝40S3，S－100S3＋900＝0， 解得S3＝10或S3＝90.又数列{an}的各项均为正数，所以S3<S6，S3＝90(舍去)，故S3＝10.
答案：10
三、解答题
10．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2<<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4<<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
11．(2019·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵Sn＝2n＋1－2，∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
又a1＝2＝21，∴an＝2n.
(2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋.
12．(2019·河南十所名校联考)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1an＋4an＋1＋4＝0.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若bn＝(an＋2)·(an＋1＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：由an＋1an＋4an＋1＋4＝0，得an＋1＝－.
∵－＝－＝－＝＋－＝，
∴数列是等差数列．
(2)由(1)知等差数列的首项为＝2，公差为，
∴＝2＋(n－1)×＝，所以an＋2＝，
∴bn＝(an＋2)·(an＋1＋2)＝＝4×.
∴Sn＝4×－＋－＋…＋－＝4×－＝.