2022届高考数学统考一轮复习-微专题换元法求解与指数型函数有关的最值问题学案新人教版.docx

2022届高考数学统考一轮复习 微专题换元法求解与指数型函数有关的最值问题学案新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 微专题换元法求解与指数型函数有关的最值问题学案新人教版

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微专题(六)　换元法求解与指数型函数有关的最值问题

[例]　已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1.
∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0<a<1时，－1<y≤2.
综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0<a<1时，函数的值域是(－1,2]．
名师点评　
1．此例利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋2t－1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式练]　已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，则m的取值范围为________．

微专题(六)
变式练
　解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2,2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为.
答案：