2022届高考数学一轮复习-第三章-3.3-定积分与微积分基本定理学案.docx

2022届高考数学一轮复习 第三章 3.3 定积分与微积分基本定理学案

2022届高考数学一轮复习 第三章 3.3 定积分与微积分基本定理学案

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第三节　定积分与微积分基本定理

【知识重温】
一、必记6个知识点
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx.
在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做②________，③________叫做被积式．
2．定积分的几何意义

f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线④________，⑤________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线⑥________，⑦________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
3.定积分的性质
(1)kf(x)dx＝⑧________(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨________.
(3)________＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．
5．定积分与曲线梯形面积的关系
(1)
　　(2)

(3)
　　(4)

设阴影部分的面积为S.
(1)S＝f(x)dx.
(2)S＝⑫________.
(3)S＝⑬________.
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系
(1)s＝⑭________；(2)W＝⑮________.
二、必明4个易误点
1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．
2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(2)若f(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)
(3)若f(x)是偶函数，则 f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)
(4)若f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝0.(　　)
二、教材改编
2.(ex＋3x2)dx等于(　　)
　　　　　　　　A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
3．(1＋cos x)dx等于(　　)
A．π B．2 C．π－2 D．π＋2

三、易错易混
4．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B．1 C. D.
5. e|x|dx的值为________．

考点一　定积分的计算
1．计算下列定积分：
(1)dx；
(2)cos xdx；
(3)dx.

2．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
(1)dx；
(2) (3x3＋4sin x)dx.

悟·技法
求定积分的4大常用方法

考点二　定积分的几何意义

[例1]　[2021·河北衡水中学第二次调研]如图，阴影部分是由曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________．

悟·技法
利用定积分求平面图形面积的4步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·唐山统考]过点(－1,0)的直线l与曲线y＝相切，则曲线y＝与l及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
考点三　定积分在物理中的应用
[例2]　[2021·辽宁瓦房店四校联考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m)是(　　)
A．(1＋25ln 5)m B.m
C．(4＋25ln 5)m D．(4＋50ln 2)m

悟·技法
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)
　A. m B. m C. m D. m

第三节　定积分与微积分基本定理
【知识重温】
①[a，b]　②积分变量　③f(x)dx　④x＝a
⑤x＝b　⑥x＝a　⑦x＝b　⑧kf(x)dx　⑨f1(x)dx±f2(x)dx　⑩f(x)dx　⑪F(b)－F(a)　⑫－f(x)dx
⑬f(x)dx－f(x)dx　⑭v(t)dt　⑮F(x)dx
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：(ex＋3x2)dx＝(ex＋x3)＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.
答案：C
3．解析：因为(x＋sin x)′＝1＋cos x，所以(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)＝＋sin－＝π＋2.
答案：D
4．解析：由题意知S＝cos xdx＝sin x＝－＝.

答案：D
5．解析：e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x＋ex＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2.
答案：2e－2
课堂考点突破
考点一
1．解析：(1)因为(ln x)′＝，所以dx＝2dx＝2ln x＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.
(2)因为(sin x)′＝cos x，所以cos xdx＝sin x＝sin π－sin 0＝0.
(3)因为(x2)′＝2x，′＝－，所以dx＝2xdx＋dx＝x2＋＝.
2.

解析：(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的.
故dx＝.
(2)设y＝f(x)＝3x3＋4sin x，
则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数．
所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx.
所以(3x3＋4sin x)dx＝3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0.
考点二
例1　解析：易求得曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3在第一象限的交点坐标为A，作直线OA，则直线OA的方程为y＝x，如图．

则直线OA与抛物线y＝2x2所围成的图形的面积S1＝(x－2x2)dx＝＝×－×＝，易知扇形AOB的圆心角为，则扇形AOB的面积S2＝××3＝，所以阴影部分的面积S＝S2－S1＝－.
答案：－
变式练
1．解析：因为y＝的导数为y′＝，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为＝，解得x0＝1，即切线的斜率为，所以直线l的方程为y＝(x＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为dx＋×1×＝(x2＋x－x)＋＝.
答案：
考点三
例2　解析：由7－3t＋＝0，解得t＝4或t＝－(不合题意，舍去)，故汽车经过4 s后停止，在此期间汽车行驶的路程为dt＝＝4＋25ln 5(m)．
答案：C
变式练
2．解析：由v＝40－10t2＝0，得t2＝4，t＝2.
所以h＝(40－10t2)dt＝
＝80－＝(m)．
答案：A