3.52轴对称全章复习和巩固(提高)知识讲解.doc

3.52轴对称全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；
3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称　　
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.
2.等边三角形
　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.
【答案】C；
【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．
△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　 　）
A.180° B.270° C.360° D.480°

【答案】C；
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．

2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解：分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.
∵∠MON＝40°
　 ∴∠＝140°.
∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.
∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠
∴∠＋∠＋∠＝180°
∴∠APB＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.
举一反三：
【变式】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）．
A．100° B．110° C． 120° D． 130°

【答案】C；
提示：找A点关于BC的对称点，关于ED的对称点，连接，交BC于M
点，ED于N点，此时△AMN周长最小. ∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝
∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.
3、如图，△ABC关于平行于轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4），则这条平行于轴的直线是（　　）
A.直线＝－1 B.直线＝－3 C.直线＝－1 D.直线＝－3

【思路点拨】根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线．
【答案】C；
【解析】
解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC
又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4）
∴AC＝6
∴点A，C到该直线的距离都为3
即可得直线为＝－1
【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴．
举一反三：
【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（　　）
A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）

【答案】D；
提示：因为Rt△AOB与Rt△关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（－2，－1）．
【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．

【答案】
解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
类型二、等腰三角形的综合应用
4、（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．
又∵，
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【答案】7；4或10；
【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，
∵=+，
∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵=AB•CH，AB=AC，
∴×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度数．

【答案与解析】
A
C
D
1
2
3
B
5
E
解：将沿AB翻折，得到，连结CE，
则，
∴∠1＝∠5＝12°.
∴60°
∵48°∴．
又∵∠2＝36°，72°，
∴
∴BE＝BC
∴为等边三角形.
∴
又垂直平分BC．
∴AE平分．
∴30°
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．
举一反三：
【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD的度数.

【答案】　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
　　　 　　∴△ABD≌△ACE
　　　 　　∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
　　　 　　∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形
∴∠AED＝60°
　　　 　　∵∠DAB＝∠DBA＝10°
　　　 　　∴AD＝BD＝DE＝EC
　　　 　　∴∠AEC＝160°，
　　　 　　∴∠DEC＝140°
　　 　　　∴∠DCE＝20°
　　　 　　∴∠ACD＝30°
类型三、等边三角形的综合应用
6、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．

(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？
(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．
【答案与解析】
解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．
证明：连接DF，DE，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，
∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，
∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°
∴ ∠MDF＝∠NDE．
在△DMF和△DNE中，，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.
∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN
∴∠MFN＝60°
∴FN∥AB，
又∵EF∥AB，
∴E、F、N在同一直线上.
(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，
∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴ ∠MDF＝∠NDE．
在△DMF和△DNE中，，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE．
【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.

【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）

2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

3．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形；
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .
4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（ ）
A.12：01 B.10：51 　　 　 C.11：59 D.10：21
5. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（－10，3） C.（4，3） D.（4，1）
6．如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
A
N

O
B M C
（22题图）

7. 如图，将△沿、、翻折，三个顶点均落在点处.若，则 的度数为（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°

8. 如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE＝2.AC的长为（ ）
A.2 B.3 C. 4 D.5

二.填空题
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ ．

10. 在同一直角坐标系中，A（＋1，8）与B（－5，－3）关于轴对称，则＝___________，＝___________.
11．如图所示，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，线段DE＝_______．

12. 如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，PD的长为________．

13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．

14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .

15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60º，若BE＝6，DE＝2，则BC＝______________．

16. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________。

三.解答题
17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC，求证AE平分∠BAC．

18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，过F作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝，AQ＝．
（1）写出与之间的关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．

20．已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N.
求证：∠ADB＝∠CDN

【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】作出对称轴，将图形还原即可.
2. 【答案】C；
【解析】由题意，∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠FBC，所以∠EBF＝∠ABC＝45°，故选C．
3. 【答案】B；
【解析】全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．C 选项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.
4. 【答案】B；
5. 【答案】B；
【解析】点B的纵坐标和点A一样，（横坐标＋4）÷2＝－3，解得横坐标为－10.
6. 【答案】B；
【解析】易证AN＝ON，BM＝OM，△CMN的周长等于AC＋BC＝24.
7. 【答案】C；
【解析】∠A＝∠DOE,∠B＝∠HOG,∠C＝∠EOF,所以∠2＝360°－180°－129°＝51°.
8. 【答案】B；
【解析】连接AD，易证三角形ABD为等边三角形，CE＝DE＝1，AE＝DE＝2，所以AC＝AE＋CE＝2＋1＝3.
二.填空题
9. 【答案】4；
【解析】因为AE＝CE，∠＝90°，所以为AC的中点.AC＝2AB＝4.
10.【答案】；
【解析】由题意＋1＝－5，3－＝8，解得.
11．【答案】9；
【解析】因为DE∥BC， 所以∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， 因为∠FBC＝∠FBD，∠FCB＝∠FCE， 所以∠FBD＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， 所以BD＝DF，CE＝EF， 所以BD＋CE＝DF＋FE＝DE，所以DE＝BD＋CE＝9．
12.【答案】2；
【解析】过P作PE⊥OB于E，所以PD＝PE，因为PC∥OA，所以∠BCP＝∠BOA＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝PC，所以PE＝×4＝2，因为PE＝PD，所以PD＝2．
13．【答案】40°；
【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 又∵∠OBC＝∠OCA，
∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB）， ∵∠BOC＝110°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．
14.【答案】4；
【解析】过D作DP⊥BC，此时DP长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.
15.【答案】8；
【解析】延长ED到BC于M，延长AD到BC与N，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∵BE＝6，DE＝2，∴DM＝4，∵∠NDM＝30°，∴NM＝2，∴BN＝4，∴BC＝8．
16.【答案】15；
【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝，EF＝，则有＋1＋3＝＋＋2＝3＋3＋2＝8所以＝4，＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.

三.解答题
17．【解析】
证明：延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，
在△DEF和△CEG中，
ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，
∴△DEF≌△CEG，
∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，
∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，
∵DF＝AC，∴GC＝AC，
∴∠G＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．

18．【解析】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2．
在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝60°，
∴∠BPE＝30°，
而BP＝，∴BE＝，EC＝2－，
在△CFE中，∵∠C＝60°，EF⊥CF，
∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－x，
同理在△FAQ中，可得AQ＝＋，
而AQ＝，所以＝＋（0＜≤2）．
（2）当点P与点Q重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，
∴＋＝2，所以
解得＝．
∴当BP的长为时，点P与点Q重合．
19．【解析】
解：（1）如图．
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°．
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°．
∴∠1＝∠ABC－∠DBC＝75°－30°＝45°．
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD所在直线垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2＝∠BAC＝＝15°．
∴∠ADE＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．
证明：（2）连接AM，取BE的中点N，连接AN．
∵△ADM中，DM＝DA，∠ADE＝60°，
∴△ADM为等边三角形．
∵△ABE中，AB＝AE，N为BE的中点，
∴BN＝NE，且AN⊥BE．
∴DN＝NM．
∴BN－DN ＝NE－NM，
即 BD＝ME．
∵DB＝DC，
∴ME＝DC．
20.【解析】
证明：作∠BAC的角平分线交BD于H
∴∠BAH＝∠CAH＝45º
∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠C＝45 º
∴∠BAH＝∠C
∵AN⊥BD于M，
∴∠AMD＝90º
∴∠NAD＋∠ADB＝90º
∵∠BAC＝90º
∴∠ABD＋∠ADB＝90º
∴∠ABD＝∠NAC
在△ABH与△CAN中

∴△ABH≌△CAN
∴AH＝CN
∵D为AC边上的中点
∴AD＝CD
在△AHD与△CND中

∴△AHD≌△CND
∴∠ADB＝∠CDN．

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