10定点、定值问题是2012年高考卷中解析几何大题的靓点.doc

定点、定值问题是2012年高考卷中解析几何大题的靓点笔者发现，在2012年高考卷中有多道解析几何大题是考查定点、定值问题的，而解决这些问题的利器是多项式恒等定理 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得，则多项式与恒等(即它们的同次项系数相等).证明 由题设得多项式方程有个两两不同的复数根，而由代数基本定理知，一元次方程最多有个两两不同的复数根，由此知恒成立，即欲证成立.推论1 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得是定值，则.证明 设是定值.在多项式恒等定理中令，得多项式与恒等，所以.推论2 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得常数，则.证明 在多项式恒等定理中令为这里的，便可获证.1 湖南理科卷高考题1 (2012湖南理21)在直角坐标系中，曲线上的点均在外，且对上任意一点到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.(I)求曲线的方程；(II)设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别于曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.下面给出这道高考题的一般情形.定理1 在平面直角坐标系中，动点在定直线上，过点能作定圆的两条不同切线(且切线的斜率存在)，且分别与定抛物线交于点和(这四个点互不相同)，则这四个点的纵坐标之积为定值的充要条件是，且定值为.证明 设点，过点作定圆的切线斜率是，得切线的方程是，即，可得设切线的斜率分别为，得 得切线的方程是，即.把它代入抛物线，得同理 再由，得再由推论2中时的情形可得欲证.2 江西理科卷高考题2 (2012江西理20)已知三点，曲线上任意一点满足.(1)求曲线的方程；(2)动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值.若不存在，说明理由.下面给出这道高考题第(2)问的一般情形.定理2 设定点在定抛物线上且关于轴对称，点是抛物线弧上的任意一点(但不是端点)，则存在定点使得在点处的切线与直线都相交(设交点分别为)且与的面积之比是定值的充要条件是为点的纵坐标的相反数(且定值).证明 如图1，可设.图1可求得切线，切线与轴的交点，直线.若，得，所以存在，使得，即.若，得，所以与直线都相交.即切线与直线都相交的充要条件是.由，得.当时，可求得切线与直线的交点的横坐标分别为由，得，还有所以，由此得 由推论2，得是定值 从而可得欲证成立.3 上海理科卷高考题3 (2012上海理22)在平面直角坐标系中，已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：；(3)设椭圆，若分别是上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.(参考答案：(1)；(2)略；(3)可证定值为.)高考题3(3)的一般情形是：定理3 在平面直角坐标系中，点分别是曲线与双曲线上的动点，且，则点到直线的距离是定值的充要条件是，且定值为.证明 可设，所以设点到直线的距离是，得 由推论2，得为定值从而可得欲证.定理4 在平面直角坐标系中，点分别是曲线与双曲线上的动点，且，则点到直线的距离是定值的充要条件是，且定值为.证明 可设，所以设点到直线的距离是，得 从而可得欲证.4 福建卷高考题4 (2012福建文21) 如图2，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上.(I)求抛物线的方程；(II)设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.图2 (参考答案：(I)；(II)以为直径的圆恒过轴上的定点(0,1).)高考题5 (2012福建理19)如图3，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.(I)求椭圆的方程(II)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.图3(参考答案：(I)；(II)在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点，且点的坐标是(1,0).)笔者得到了这两道高考题的一般情形.定理5 设动直线与圆锥曲线相切于点，与的一条准线交于点，则以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.证明 (1)先证抛物线的情形.可不防设，得.又可设R).由的方程，得，所以切线的方程是可求得切线与条准线的交点.若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即因为R时该式恒成立，所以由多项式恒等定理，得得点.所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的焦点.(2)再证椭圆的情形.可不防设，.又可设.可以只考虑上半椭圆，得，所以切线的方程是可求得切线与一条准线的交点.若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即 因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得，所以 由时该式成立，得或.当时，可以验证式在时恒成立.当时，可得式的左边为，所以式在时恒成立，此时也有.所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.(3)再证双曲线的情形.可不防设，.又可设.可以只考虑轴上方的双曲线，得，所以切线的方程是可求得切线与一条准线的交点.若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即 因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得，所以 因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得. 还可验证当时，式恒成立.所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.