高考天津数学理科模拟考试含详细解答(全word).doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
·如果时间A，B互斥，那么 ·球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） .
·如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径.
P（A·B）=P（A）·P（B）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）是虚数单位，
(A) (B) 1 (C) (D)
解析：，选A．
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．
（3）设函数，则是
(A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数
(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数
解析：是周期为的偶函数，选B．
（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
(A) (B)
(C) (D)
解析：A、B、D直线可能平行，选C．
（5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为
(A) 6 (B) 2 (C) (D)
解析：由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为
所以，选B．
（6）设集合，则的取值范围是
(A) (B)
(C) 或 (D) 或
解析：，所以，选A．
（7）设函数的反函数为，则
(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1
(B) 在其定义域上是减函数且最小值为0
(C) 在其定义域上是减函数且最大值为1
(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0
解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调递增，排除B、C；又的值域为的定义域，所以最小值为0．
（8）已知函数，则不等式的解集是
(A) (B)
(C) (D)
解析：依题意得
所以，选C．
（9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令
，则
(A) (B) (C) (D)
解析：，
因为，所以，所以，选A．
（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有
(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种
解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法.所以此时余下的这4个数字共有种方法．由乘法原理可知共有种不同的排法，选B．

第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
（11）的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.
解析：，所以，系数为.
（12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .
解析：由得，所以，表面积为.
（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .
解析：抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，，圆C的方程为.

（14）如图，在平行四边形中，，
则 .
解析：令，，则
所以.
（15）已知数列中，，则 .
解析：
所以.
（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .
解析：由已知得，单调递减，所以当时，
所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为.
三、解答题（本题共6道大题，满分76分）
（17）（本小题满分12分）
已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（17）解：（Ⅰ）因为，所以，于是

（Ⅱ）因为，故

所以

（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
（18）解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
可能的取值为0，1，2，3，故

的分布列为

0
1
2
3

的数学期望

（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小.
（19）解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面.

（Ⅱ）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故
所以异面直线与所成的角的大小为.
（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。
由题设可得，

于是再中，
所以二面角的大小为．
（20）（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：．
当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：

＋
0
－
－
0
＋

↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．
从而得，所以满足条件的的取值范围是．
（21）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得
，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．

（22）（本小题满分14分）
在数列与中，，数列的前项和满足
,为与的等比中项，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列与的通项公式；
（Ⅲ）设.证明.
（22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分
（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．
（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．
先证，．
当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：
（1当时，，等式成立．
（2）假设时等式成立，即，．
由题设，　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，从而
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．
综上所述，等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明，．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．
解法二：由题设　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，
由（Ⅰ）并化简得，．
止式对也成立．
由题设有，所以，即，．
令，则，即．由得，．所以，即，．
解法：由题设有，，所以
，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得
，．
由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．
上式对时也成立．
以下同解法二，可得，．
（Ⅲ）证明：．
当，时，
．
注意到，故
　．
当，时，
当，时，
．
当，时，
．
所以．
从而时，有
总之，当时有，即．

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