【研究院】[全国](7)2018高考真题(理)分类汇编——直线和圆、圆锥曲线(教师版).docx

2018高考真题分类汇编——直线与圆、圆锥曲线
1.（2018北京·理）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（　　）
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
1.C

2.（2018北京·理）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
2.

3.（2018全国I·理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.D

4.（2018全国I·理）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若为直角三角形，则|MN|=（ ）
A． B．3 C． D．4
4.B

5.（2018全国II·理）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.A
6.（2018全国II·理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A. B． C． D．
6.D

7.（2018全国III·理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.A

8.（2018全国III·理）设是双曲线（）的左，右焦点，是
坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
8.C

9.（2018江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ．
9.2

10.（2018江苏）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，
以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ▲ ．
10.3

11.（2018浙江）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)
11.B

12.（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当
m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
12.5

13.（2018天津·理）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
13.C

14．（2018上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为　 　．
14.y=±

15.（2018上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
15.C

16.（2018北京·理）（本小题满分14分）
已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
16.【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0<k<1．
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以
．
所以为定值．

17.（2018全国I·理）（本小题满分12分）
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
17.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.
（2）当l与x轴重合时，.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
综上，.

18.（2018全国II·理）（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
18.【解析】（1）由题意得，l的方程为．设，
由得．，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．因此l的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则
解得或
因此所求圆的方程为或．

19.（2018全国III·理）（本小题满分12分）
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
19.【解析】（1）设，则.
两式相减，并由得.
由题设知，于是.①，由题设得，故.
（2）由题意得，设，则.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是.同理.
所以.
故，即成等差数列.设该数列的公差为d，
则.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.所以该数列的公差为或.

20.（2018天津·理）（本小题满分14分）
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若(O为原点) ，求k的值.
20.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由
已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为

21.（2018江苏）（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
21.【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．由消去y，
得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，由（*）得，
所以．
因为，所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．

22.（2018浙江）（本小题15分）
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满
PA，PB的中点均在C上．

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
22.【解析】（1）设，，．
因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，
即的两个不同的实数根．
所以．因此，垂直于轴．
（2）由（1）可知所以，．
因此的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．

23.（2018上海）（本小题16分）
设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
23.【解析】（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF==，kFQ=，
直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），
根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．

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