数学高考考点预测：有限与无限的思想.doc

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2011年数学高考考点预测(31）：有限与无限的思想
一、考点介绍
1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.
2、把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路.
3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.
4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求
极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等,这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.
5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视。
二、高考真题
1。 （2008安徽卷，理,14）在数列在中,，，,其中为常数，则的值是 .
【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数的值,再对所给的有限项求极限。这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即）来解决新的极限问题。
【答案】由知,是公差为4的等差数列，故
，解得，，从而。
2。 （2005年福建卷，理，22） 已知数列满足，我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时,得到无穷数列:当时,得到有穷数列：。
(Ⅰ)求当为何值时；
（Ⅱ）设数列满足， ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；
(Ⅲ)若，求的取值范围.
【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题。 对于题设的递推关系,随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第(Ⅱ)问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列{an｝的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个都成立的结果,通过有限次分析获得解决.
【答案】（Ⅰ）

(Ⅱ) 解法一：，，
当时, ,
当时,,，
当时,,.
一般地， 当时,可得一个含有项的有穷数列.
下面用数学归纳法证明.
(1) 当时， ,显然,可得一个含有2项的有穷数列
(2) 假设当时，,得到一个含有项的有穷数列，其中
,则时,，,
由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中。
所以,当时， 可以得到一个含有项的有穷数列，，其中
由(1），(2）知，对一切,命题都成立。
解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列。
（Ⅲ)即,
所以要使,当且仅当它的前一项满足。
由于，所以只须当时，都有
由,得, 解得.
3。（2008辽宁卷21)在数列,中，a1=2，b1=4，且成等差数列,成等比数列（）.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3,b4,由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．
【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ,可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题。第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题)直接解决无限的问题.
【答案】（Ⅰ)由条件得,由此可得
．猜测．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即，
那么当n=k+1时，,
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②,可知对一切正整数都成立．
(Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．
故
。
综上，原不等式成立．
三、名校试题
1。（福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测，数学，22)数列中，，
(为常数，） ，且
(1）求的值；
（2)① 证明：；
② 猜测数列是否有极限？如果有,写出极限的值（不必证明)；
（3）比较与的大小,并加以证明。
【解析】第(1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项后可得的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限;第(3)问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得。然后通过前几项（有限项）的比较与第（2)问已证的单调性得到结果。
【答案】(Ⅰ）依题意，
由，得，解得，或（舍去）。
（Ⅱ）① 证明:因为，
当且仅当时，.因为，所以，即 ()。
② 数列有极限,且 。
（Ⅲ）由，可得,从而.
因为，所以
所以
因为，由（Ⅱ）① 得 (). （*）
下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立.
当时，由，显然结论成立.
假设结论对时成立，即
因为,且函数在时单调递增，
所以。即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立。 （＊＊）
根据（＊）及（*＊)得 。
由 及， 经计算可得
所以,当时， ;当时，;
当时，由,得
所以。
2．（安徽省皖南八校2008届高三第三次联考,数学,18）数列的首项=1，前项和为满足(常数，）．
（1)求证：数列是等比数列.
(2）设数列的公比为，作数列，使，(2,3，4，…）
求数列的通项公式；
（3）设，若存在，且；使（…），试求的最小值．
【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题)。第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限,再根据这个极限求出的最小值。
【答案】 解:(1) ①
当时， ②
①—②得,即
由①, ，∴,
又符合上式，∴是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，∴()，
∴。又,即，，
∴数列是为1首项,为公比的等比数列．
∴,∴．
（3）由（2）知，则.
∴…=
=,
∴,∴. ∵，∴，.
又∵,∴的最小值为7.
四、考点预测
（一)考点预测
根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现。在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题。
(二）考点预测题
1．（2007天津 理工13）设等差数列的公差是2,前项的和为，则　　 ．
【解析】本题设出首项，表示出通项和前和(有限项），然后代入求极限。而在求极限的时候,利用到已经掌握的极限知识和,其中为常数.
【答案】设首项为,则，
，
.
2。（2008山东卷 文20）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

．．．．．．
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和,且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列,并求数列的通项公式；
(Ⅱ）上表中,若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
【解析】第(Ⅰ）问从无穷数列中抽出它的一个无穷的子数列，由与的递推关系式消去，从而证明是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和.
【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当时，，
又,所以,
即，所以，
又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，即．
所以当时,．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为,所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故在表中第13行第三列,因此．
又，所以．
记表中第行所有项的和为，
则