高考数学一轮复习分层限时跟踪练55.doc

分层限时跟踪练(五十五)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·韶关模拟)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　由2x－1≥0得x≥，故所求概率P＝＝.
【答案】　A
2．如图10­3­2，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是(　　)

图10­3­2
A.
B.
C.
D.
【解析】　由题意知，当MN＝R时，∠MON＝，所以所求概率为1－＝.
【答案】　D
3．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率为P＝＝.
【答案】　A
4.(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为(　　)
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－

【解析】　函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－.
【答案】　B
5．(2015·昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.

∴P＝＝＝.
【答案】　D
二、填空题
6．(2015·烟台模拟)在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．
【解析】　当－≤x≤时，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，由几何概型概率公式得P＝.
【答案】　
7．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于的概率是________．
【解析】　设随机取出的两个数分别为x，y，则0＜x＜1,0＜y＜1，
依题意有x＋y＜，由几何概型知，
所求概率为
P＝＝.
【答案】　
8．如图10­3­3所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM＜1的概率为________．

图10­3­3
【解析】　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM＜1”，则可得∠BAM＜∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率．

【解】　如图，
正方体ABCD­A1B1C1D1.
设M­ABCD的高为h，
则×SABCD×h＜，
又SABCD＝1，∴h＜，
即点M在正方体的下半部分，
∴所求概率P＝＝.
10．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．
【解】　设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－x|≤时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P＝＝.

1．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.

【答案】　C
2．(2015·佛山二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由题意，得
即表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为，
故选C.

【答案】　C
3．如图10­3­4所示，图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．

图10­3­4
【解析】　设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，
故长方体的体积为1×1×3＝3.
【答案】　3
4.如图10­3­5，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是____________．

图10­3­5
【解析】　如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1

＝，S扇形OCD＝，∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝－2＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P＝＝1－.
【答案】　1－
5．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率．
【解】　画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图，三角形ABC的面积为S1＝×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝π，所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1－＝1－.

6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．
【解】　(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.
设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构的区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.
设“一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π.
故所求的概率为P(B)＝＝.
7．(2015·山西质量检测)如图10­3­6，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.

图10­3­6
规定：击中A，B，C，D区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．
(1)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；
(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.
①乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；
②乙、丙二人各射击一次，记U，V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U，V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即U＜V)的概率．
【解】　(1)设甲射击一次得分为X，则X的所有可能取值为5,3,2,1,0，
P(X＝5)＝×(1－0.02)＝0.02，
P(X＝3)＝×(1－0.02)＝0.16，
P(X＝2)＝×(1－0.02)＝0.32，
P(X＝1)＝×(1－0.02)＝0.48，
P(X＝0)＝0.02，
故X的数学期望E(X)＝5×0.02＋3×0.16＋2×0.32＋1×0.48＋0×0.02＝1.7.
(2)①设乙、丙射击一次的得分分别为Y，Z，则Y的所有可能取值为5,3,2，Z的所有可能取值为5,3,2，
P(Y＝5)＝＝，P(Y＝3)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
P(Z＝5)＝＝，P(Z＝3)＝＝，
P(Z＝2)＝＝.
故所求概率P1＝×＋×＋×＝.
②由题意得不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率P2＝＝.