1、分层限时跟踪练(五十五)(限时40分钟)一、选择题1(2015韶关模拟)在区间0,2之间随机抽取一个数x,则x满足2x10的概率为()A.B.C.D.【解析】由2x10得x,故所求概率P.【答案】A2如图1032,M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是()图1032A.B.C.D.【解析】由题意知,当MNR时,MON,所以所求概率为1.【答案】D3在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A. B. C. D.【解析】正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中
2、心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1131,而原正方体的体积为V3327,故所求的概率为P.【答案】A4.(2015河南三市联考)在区间,内随机取两个数分别为a,b,则使得函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1B1C1D1【解析】函数f(x)x22axb22有零点,需4a24(b22)0,即a2b22成立而a,b,建立平面直角坐标系,满足a2b2,点(a,b)如图阴影部分所示,所求事件的概率为P1.【答案】B5(2015昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到直线y20的距离大于2的概率是()A. B.C. D.【解析】作出平面区域D,可
3、知平面区域D是以A(4,3),B(4,2),C(6,2)为顶点的三角形区域,当点在AED区域内时,点到直线y20的距离大于2.P.【答案】D二、填空题6(2015烟台模拟)在区间上随机取一个数x,则cos x的值介于0到之间的概率为_【解析】当x时,由0cos x,得x或x,由几何概型概率公式得P.【答案】7(2015武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数,则这两数之和小于的概率是_【解析】设随机取出的两个数分别为x,y,则0x1,0y1,依题意有xy,由几何概型知,所求概率为P.【答案】8如图1033所示,在ABC中,B60,C45,高AD,在BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概
4、率为_图1033【解析】因为B60,C45,所以BAC75,在RtABD中,AD,B60,所以BD1,BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M,使BM1”,则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式,得P(N).【答案】三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥MABCD的体积小于的概率【解】如图,正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h,则SABCDh,又SABCD1,h,即点M在正方体的下半部分,所求概率P.10身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A,B两列火车在郑州火车站会面,并约定先到者等待
5、时间不超过10分钟当天A,B两列火车正点到站的时间是上午9点,每列火车到站的时间误差为15分钟,不考虑其他因素,求姐弟俩在郑州火车站会面的概率【解】设姐姐到的时间为x,弟弟到的时间为y,建立坐标系如图,由题意可知,当|yx|时,姐弟俩会面,又正方形的面积为,阴影部分的面积为,所求概率P.1在ABC中,ABC60,AB2,BC6,在BC上任取一点D,则使ABD为钝角三角形的概率为()A.B.C.D.【解析】如图,当BE1时,AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,ABD为钝角三角形;当BF4时,BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C、F点)上时,ABD为钝角三角形,所以ABD为钝
6、角三角形的概率为.【答案】C2(2015佛山二模)已知函数f(x)x2bxc,其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为()A. B.C. D.【解析】由题意,得即表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为,故选C.【答案】C3如图1034所示,图中实线围成的部分是长方体(图)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是_图1034【解析】设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P,解得h3或h(舍去),
7、故长方体的体积为1133.【答案】34.如图1035,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是_图1035【解析】如图,设OA2,S扇形AOB,SOCD11,S扇形OCD,在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S121,所有阴影面积为2.故所求概率P1.【答案】15将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率【解】画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积为S1346,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2,所以其恰在离三个顶
8、点距离都不小于1的地方的概率为P11.6已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a,b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率;(2)若a2,6,b0,4,求一元二次方程没有实数根的概率【解】(1)基本事件(a,b)共有36个,且a,b1,2,3,4,5,6,方程有两个正实数根等价于a20,16b20,0,即a2,4b4,(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4个,故所求的概率为P(A).(2)试验的全部结果构的区域(a,b)|2a6,0b4,其面积为S
9、()16.设“一元二次方程没有实数根”为事件B,则构成事件B的区域为B(a,b)|2a6,0b4,(a2)2b216,其面积为S(B)424.故所求的概率为P(B).7(2015山西质量检测)如图1036,一个靶子由四个同心圆组成,且半径分别为1,3,5,7.图1036规定:击中A,B,C,D区域分别可获得5分,3分,2分,1分,脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分(1)甲射击时脱靶的概率为0.02,若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点,求甲射击一次得分的数学期望;(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4,丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.乙、丙二人各射击一次,且二人击中各
10、自范围内每一点的可能性相等,求乙得分比丙高的概率;乙、丙二人各射击一次,记U,V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离,且U,V取各自范围内的每个值的可能性相等,求乙获取(即UV)的概率【解】(1)设甲射击一次得分为X,则X的所有可能取值为5,3,2,1,0,P(X5)(10.02)0.02,P(X3)(10.02)0.16,P(X2)(10.02)0.32,P(X1)(10.02)0.48,P(X0)0.02,故X的数学期望E(X)50.0230.1620.3210.4800.021.7.(2)设乙、丙射击一次的得分分别为Y,Z,则Y的所有可能取值为5,3,2,Z的所有可能取值为5,3,2,P(Y5),P(Y3),P(Y2),P(Z5),P(Z3),P(Z2).故所求概率P1.由题意得不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率P2.