高考数学考试习题.doc

1951年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x，y.
解略：
2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？
证：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形
3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？
解略：丈

5．试题10道，选答8道，则选法有几种？
解略：
6．若一点P的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？
解：x=r,y=r
7．若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？
解：由Δ=b2-4ac=0,得k=1
8．列举两种证明两个三角形相似的方法
答：略
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x的值的范围如何？
解略：-1＜x＜2
10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程
解略：bx-ay=0
11．（+)6展开式中的常数项如何？
解：由通项公式可求得是T4=20
12．的通解是什么？
解：
13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
答：最少是一个，最多是三个
14．

解：原式=
15．x2-4y2=1的渐近线的方程如何？
解略：

A A＇ α

B B＇ β
B1
γ
C C＇
C1
16．三平行平面与一直线交于A，B，C三点，又与另一直线交于A＇，B＇，C＇三点，已知AB=3，BC=7及A＇B＇=9求A＇C＇
解：如图易证:

17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积
略：6立方尺
18．已知lg2=0.3010,求lg5.
略：lg5=1-lg2=0.6990
19．二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？
解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：
20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？
解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C,
∠AGF=∠B+∠D=2∠B,
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A
∴5∠A=1800，∴∠A=360
第二部分：
1．P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行
证：如图：由AD是大圆的切线，
可得： ∠1=∠2
由RQ∥BC，可得：∠2=∠3，
由QP∥AB，可得：∠3=∠4
由PE是小圆的切线，
可得： ∠4=∠5
由RP∥AC，可得：∠5=∠6
综上可得：∠1=∠6，故AD∥PE

2．设△ABC的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项
解：由余弦定理可得：

3．（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，
则a3c=b3.
证：设α，β，γ是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b
αβγ=-c
又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ

（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根
解：由⑴可知β3=-c，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ，
即αγ=9，故可得方程组：

于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9
4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线

Y
A

·P（x,y)

O X

B
证：设抛物线方程为y2=2px……………①
过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和
OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为
-，于是直线OA的方程为：
y =kx………………………②
直线OB的方程为：
③
设点A（x1 ,y1),点B(x2 ,y2)由①，②可得：

由①，③可得：
x2=2pk2, y2=-2pk
设P（x，y）为AB的中点，由上可得：

④

⑤
由⑤可得：
⑥
由④可知：
px,代入⑥

所以，点P的轨迹为一抛物线

6 / 6