浅谈新课程下如何正确把握数学教学与数学高考.doc

浅谈新课程下如何正确把握数学教学与数学高考黄谢流 打开近几年的全国各地高考数学试卷，给人的第一感觉是:全国高呼素质教育的情形下的跨世纪的国家选拨人才的试卷中，特别注重数学思想方法及思维方法的考查。因此,在高中数学教学中也应加强数学思想方法及思维方法的教学.一、加强数学思想方法及思维方法的教学的原因 传统的数学教育只注重数学知识的传授，却忽視知识发生过程中数学思想方法的教学,这有悖于数学学习的客观规律。著名数学教育家波利亚曾统计，学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1，使用数学的人占29，基本上不用数学的人占70%。并且可以想见，现在或将来这个比例也不会有太大的变化。学习形式化的数学知识(如三角形的面积公式、和差化积公式等），对于将来读数学系的学生或许有益，而让大多数人去陪少数人学数学家才要的数学，对于这大多数人来说是浪费。日本数学家和数学教育家米山国藏在从事了多年数学教育之后说:学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后,几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。因此，在数学教育中我们应该十分重视数学思想方法的教学.二、当前中学数学教学中数学思想方法的教学现状 近年来，广大教师越来越重视数学思想方法的教学，但是也存在一些问题.有部分教师对数学思想方法教学的意识不足，体现在教学目的中缺乏数学思想方法的要求，在教学中不渗透数学思想方法，在小结中不注重从数学思想方法上归纳。一个很明显的实例如，现在很多的高考复习资料都是第一轮复习基础知识基本技能,第二轮复习数学思想方法，而不是把数学知识和数学思想方法有机地结合起来教学.而在数学中没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识.三、在高中数学教学中进行数学思想方法教学的一些例子1。渗透化归类比思想，提高学生探求现象规律的素质 化归类比思想是最基本的数学思想。在解决一个问题时，人们不是直接寻求问题的答案，而是去寻觅一些熟悉的结果,设法将面临的问题转化为某一规范化的问题，以便运用己知的理论、方法和技术使问题得到解决。例1若实数满足求的最大值。本题1990年全国高考题，主要的知识点为求二元函数在约束条件下的最值问题。若直接考虑将消去一个，变为其中一个变量的函数,则将会遇到困难，而从所要求的目标结构分析，不难想到斜率之模型，从而将代数问题化归为几何问题得以顺利解决。又如例2设，对任意实数,记。求函数的单调区间；求证:当时，对任意正实数成立；有且仅有1个正实数，使得对任意正实数成立。本题为2007年浙江省高考数学卷理科压轴题,对于，只需转化为证明函数的最小值非负即可,视或为主元均可得到解决。对于,唯一性问题通常是先找到这个，在用反正法说明它是唯一的，或用极端情形（即最值位置）予以解决。将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是化归思想应用的灵魂，必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、有桥梁、有效果。例3在等差数列中,若则有等式(n19，n）成立。类比上述性质,相应地：在等比数列中若=1，则有等式_成立.此题的解决应先联想到等差、等比数列的一组性质：在等差数列、等比数列中，若p+q=s+t,则有+=+、=，（n、p、q、s、t）。注意到等差数列中加法对应等比数列中乘法，而项数相互对应。所以本题中等比数列各项应相乘；等差数列中右式最后一项项数为2乘10再减n，对应用于等比数列中右式最后一项应为2乘9再减n,即17n。上例告诉我们，类比可以使人们探索、发现数学中一些书本上没有的知识。象立体几何中的许多知识都是由平面几何中的知识通过类比得到的。纵观上述几例，熟练且扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。2.渗透分类讨论思想，培养学生的逻辑思维能力 分类讨论思想在中学数学教学中占据重要地位,注重分类讨论思想教学不仅可以加深学生对数学基础知识和基本技能的理解，而且也能有助于逻辑思维能力的提高。当被研究的对象包含多种可能的情况,我们不能一概而论的时候,可将对象分成若干个两两互不相交的部分,常常能更清楚地暴露事物的本质。例4已知是实数,函数，如果函数在区间上有零点,求的取值范围本题为2007年广东省高考数学卷文科压轴题,由函数的解析式的形式,对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数,还是二次函数，因而需就和两类情况进行讨论.例5直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（） 1 2 3 4本题为2007年上海市高考题，主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，由于为，则，,都可能为直角，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值,这也是值得思考的。当研究的问题中含有变化不定的动态因素时，这类问题属于不确定问题，不能用同一种方法解决或同一种形式叙述，需要对问题进行分类讨论。一般情形下,导致问题不确定的那个变化不定的动态因素往往就是一个分类的对象，问题情境发生变化,分类对象也会发生变化。3渗透数形结合思想,增强学生思维的广泛性和深刻性数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科.数形结合就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转换,实现从难到易，从抽象到直观的化归。正如华罗庚先生所说：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”。用数形结合思想，一些几何问题可以用代数方法处理,这个方面通过笛卡尔的坐标系产生了一门新的数学解析几何；另一方面是代数问题又可以用几何图形或函数图象解决。数形结合使人充分运用了左、右脑的思维功能.例6己知f（x）=2+b的反函数为f(x)，若y= f(x）的图象经过点Q（5，2），则b=_.此题如按常规，先求出f(x)的反函数f（x），再把点Q的坐标代入y= f(x）解出b，则过程繁索。若能数形结合，利用反函数的图象与原函数的图象关于y=x直线对称，就有点Q（5，2）关于直线y=x的对称点Q(2，5）应在函数f（x）=2+b的图象上，所以只要把Q的坐标代入方程f(x)=2+b就可以很容易的求出b。例7函数y=2sin(2x+ )（)的单调递减区间是_本题尽管有通过函数sinx的单调递减区间求sin(2x+ )的单调递减区间的方法，并且一些资料的例题解法也是如此。在后来要去确定整数k的取值，学生在确定k的取值时经常出错。如果利用数形结合，画一下图象,就能准确而快速地解答此题.例8已知x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，则x1+x2等于（ ）A6B3C2D1 分析：构造函数y=lgx，y=10x，y=3x，由于y=lgx与y=10x互为反函数，图象关于直线y=x对称，而直线y=3x 与y=x互相垂直,所以y=3x与y=lgx和y=3x与y=10x的交点P1(x1,y1）P2（x2，y2）是关于直线y=3x 与y=x的交点M（x0，y0)对称的，故x1+x2=2。从上面的论述可以看，数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用的方法与技巧,特别是在解选择题和填空题时发挥着独特的作用.美国数学家斯蒂恩 也曾经说过：如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地探索问题的解法.因此，在平时的教学中，重视数型结合思想的训练不仅可以提高学生的数学解题能力，更重要的是，还可以使学生的逻辑思维水平和形象思维水平得到真正的提高。当然，没有脱离数学知识的数学思想方法,也没不包含数学思想方法的数学知识，可以说数学思想方法在数学中处处皆是.总之，数学思想方法是唯物辨证法在数学科学中的具体体现.加强数学思想方法教学必将对数学教育质量的提高和素质教育的实施起到促进作用,并为学生世界观的形成起到其他内容无法替代的重要作用，从而为整个国民素质的提高作出贡献。