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用分离常数法解2014年高考题
1 用分离常数法讨论方程根的个数
题1 (2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解 因为函数的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”，也等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”．
用导数容易作出曲线如图1所示：

图1
由图1可得答案C．
题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解 设，题意即曲线与直线有两个公共点．
因为，由复合函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数在上是减函数，在上均是增函数，从而可作出曲线的草图如图2所示，由此可得答案．

图2
题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．
答案
解 作出函数的图象如图3所示：

图3
有；当且仅当时，；．
关于方程即在上有10个零点，即曲线与直线在上有10个交点．因为函数的周期为3，所以直线与曲线有4个交点，得所求实数的取值范围是．
题4 (2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
答案 (0,1)∪(9,＋∞)
解 因为不是原方程的根，所以设后可得本题等价于：
若关于的方程恰有4个互异的实根，则实数a的取值范围为________．
(1)作出对勾函数的图象如图4所示：

图4
(2)再由平移可作出函数的图象如图5所示：

图5
(3)作出函数的图象如图6所示：

图6
因为关于的方程的互异实根个数即两条曲线公共点的个数，所以由图6可得结论：
①当时，原方程互异实根的个数是0；
②当或时，原方程互异实根的个数是2；
③当或9时，原方程互异实根的个数是3；
④当或时，原方程互异实根的个数是4．
所以本题的答案是(0,1)∪(9,＋∞)．
题5 (2014年高考天津卷文科第14题)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
答案 (1,2)
简解 因为不是函数y＝f(x)－a|x|的零点，所以可得本题等价于：
若两条曲线恰有4个公共点，则实数a的取值范围为________．
同题4的解法，可作出曲线如图7所示：

图7
由图7可得结论：
①当时，原方程互异实根的个数是0；
②当或时，原方程互异实根的个数是3；
③当时，原方程互异实根的个数是6；
④当时，原方程互异实根的个数是5；
⑤当时，原方程互异实根的个数是4．
所以本题的答案是(1,2)．
题6 (2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R．已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2，求a的取值范围．
解 题设关于的方程有两个零点．
用导数可得函数在上分别是增函数、减函数，且．由此可作出函数的图象如图8所示：

图8
所以所求答案为．
题7 (2014年高考课标全国卷II文科第21题)已知函数，曲线在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为．
(1)求；
(2)证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
解 (1)．
(2)题意即证“当时，关于的方程即有唯一实根”．
设，得，所以函数在上均是减函数，在上是增函数．由此可作出函数的图象如图9所示：

图9
由图9可得欲证成立．
题8 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数．
(1)求在区间上的最大值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切？只需写出结论．
解 (1)(3)略．
(2)．
当点在曲线上即时：
又当点是切点时，曲线过点的切线是1条．
又当点不是切点时，可设切点为，得

所以此时过点的切线是1条．
得过点存在2条直线与曲线相切，不合题意．
所以，即点不在曲线上．可设切点为，得

题意即这个一元三次方程也即关于的一元三次方程有三个实根．
用导数知识可作出函数的图象如图10所示：

图10
由图10可得所求的取值范围是．
题9 (2014年广东卷文科第21题)已知函数R)．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，试讨论是否存在，使得．
解 (1)略．
(2)方程，即

①
所以 “当时，存在，使得”
“当时，方程①在时有解”
“当时，关于的方程有解”
因为函数的值域是，所以
“当时，存在，使得”

由此得本题的答案是：当时，当且仅当时，存在，使得．
注 由以上解法还可得下面的结论：
若R)，则
(1)当且仅当时，关于的方程无解；
(2)当且仅当时，关于的方程有唯一解；
(3)当且仅当且时，关于的方程有且仅有两个解．
题10 (2014年高考山东卷理科第20题)设函数为常数，是自然对数的底数)．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
解 (1)．
当时，得，所以与同号，得函数的单调增区间、减区间分别是．
(2)由(1)的结论知，，与同号．
设，得．
所以函数在(0,1),(1,2)上分别是减函数、增函数．又因为，所以函数在(0,2)有两个零点．
设这两个零点分别是，还可证它们分别是函数的极小值点、极大值点．
所以所求的取值范围是．
2 用分离常数法求解恒成立、存在性问题
题11 (2014年高考辽宁卷文科第12题)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 C
解 分三种情形讨论，并用分离常数法，可求得答案．
题12 (2014年高考湖南卷理科第10题)已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解 题意即关于的方程也即有解．
易知函数是增函数(两个增函数之和是增函数)，所以．
题13 (2014年高考课标全国卷II理科第12题)设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解 ．得Z)(还可得这样的一定是函数的极值点)．
满足，即Z满足，也即，还即，进而可得答案．
题14 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．
答案
解 所给区域是以三点为顶点的三角形，所以．
“恒成立”即“恒成立”，由斜率的几何意义可得答案．
题15 (2014年高考江苏卷第19(2)题)已知函数，其中是自然对数的底数．若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解 设，得题设即恒成立．可得，所以题设即恒成立，可得，得实数的取值范围．
题16 (2014年高考陕西卷文科第21题)设函数R．
(1)当为自然对数的底数)时，求的极小值；
(2)讨论函数零点的个数；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围．
解 (1)略．
(2)用分离常数法可求得答案：
当或时，函数零点的个数是1；当时，函数零点的个数是2；当时，函数零点的个数是0．
(3)题设即恒成立，也即函数是减函数．
用分离常数法可求得的取值范围是．
练习
1.(2013年高考陕西卷理科第21(2)题)设x>0，讨论曲线公共点的个数．
2.(2013年高考新课标卷I理科第21题)已知函数．若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．
(1)求的值；
(2)若时，，求的取值范围．
3.(2013年高考福建卷文科第22题)已知函数R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
(2)求函数的极值；
(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
答案：
1.当时，有0个公共点；当 时，有1个公共点；当有2个公共点．
2.(1)．
(2)题设即恒成立．
设，可得题设即恒成立．
得，所以：
当时，恒成立，是增函数，所以恒成立即．
当时，可得，所以恒成立即．
所以所求的取值范围是．
3.(1)e．(2)略．
(3)题意即方程也即无解，满足．
当时，即方程无解．用导数可求得函数的值域是，所以，即．
总之，的取值范围是，所以的最大值是1．