高考数学专题基础练——数列(含答案).doc

高考数学专题基础练数列一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. 等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A. 24B. 3C. 3D. 82. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏3. 在等差数列an中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A. 5B. 8C. 10D. 144. 设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5等于 ()A. 16B. 16C. 31D. 32二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）6. 设等比数列an满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=_7. 已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于_8. 若数列an满足：a11，an1an2n，则数列an的通项公式为_.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）9. 设数列an的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式an；（）求数列|an-n-2|的前n项和10. 已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根（1）求an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和11. 设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn12. ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值13. 已知数列an的前n项和Sn=n2+n2，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=2an+（-1）nan，求数列bn的前2n项和14. 已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（）证明an+12是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：1a1+1a2+1an3215. 已知数列an的前n项和Sn=n2（）求an的通项公式；（）记bn=1an+an+1，求数列bn的前n项和答案和解析1.【答案】A【解析】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d0，解得d=-2，an前6项的和为=-24故选：A利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前6项的和本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，381=127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯.故选B3.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可本题考查等差数列的通项公式，属基础题【解答】解：在等差数列an中a1=2，a3+a5=10，2a4=a3+a5=10，解得a4=5，公差d=1，a7=a1+6d=2+6=8故选B4.【答案】D【解析】解：等比数列-1，-2，-4，满足公比q=21，但an不是递增数列，充分性不成立若an=-1为递增数列，但q=1不成立，即必要性不成立，故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键5.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的递推公式和通项公式的关系，关键是求出数列的通项公式根据题意，由数列的递推公式分析可以求出数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可得数列an的通项公式，将n=5代入计算即可得答案【解答】解：根据题意，sn=2an-1，当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1，当n2时，an=sn-sn-1=（2an-1）-（2an-1-1）=2an-2an-1，an=2an-1，数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an=2n-1则a5=25-1=16故选B6.【答案】-8【解析】解：设等比数列an的公比为q，a1+a2=-1，a1-a3=-3， a1（1+q）=-1，a1（1-q2）=-3， 解得a1=1，q=-2 则a4=（-2）3=-8 故答案为：-8设等比数列an的公比为q，由a1+a2=-1，a1-a3=-3，可得：a1（1+q）=-1，a1（1-q2）=-3，解出即可得出本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.【答案】2n-1【解析】解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，8=1q3，q=2，数列an的前n项和为：=2n-1故答案为：2n-1利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列an的前n项和本题考查等比数列的性质，数列an的前n项和求法，基本知识的考查8.【答案】2n-1【解析】【分析】本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，涉及累加法的应用，属于基础题目.【解答】解:因为，所以，则.故答案为2n-1.9.【答案】解：（）S2=4，an+1=2Sn+1，nN*a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，两式相减得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an，即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，an+1an=3，则数列an是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n-1（）an-n-2=3n-1-n-2，设bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，则b1=|30-1-2|=2，b2=|3-2-2|=1，当n3时，3n-1-n-20，则bn=|an-n-2|=3n-1-n-2，此时数列|an-n-2|的前n项和Tn=3+9(13n2)13-(5+n+2)(n2)2=3nn25n+112，则Tn=2，n=13，n=23nn25n+112，n3=2，n=13nn25n+112，n2【解析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列an是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an； （）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列|an-n-2|的前n项和 本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列an是等比数列是解决本题的关键求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和10.【答案】解：（1）方程x2-5x+6=0的根为2，3又an是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=12，故an=2+（n-2）12=12n+1，（2）设数列an2n的前n项和为Sn，Sn=a121+a222+a323+an12n1+an2n，12Sn=a122+a223+a324+an12n+an2n+1，-得12Sn=a12+d(122+123+124+12n)an2n+1=322+1214(112n1)112an2n+1，解得Sn=32+12(112n1)n+22n+1=2-n+42n+1【解析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式11.【答案】解：（）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n1时，2Sn-1=3n-1+3，此时，2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1，即an=3n-1，所以an=3,n=13n1,n1.（）因为anbn=log3an，所以b1=13，当n1时，bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n，所以T1=b1=13；当n1时，Tn=b1+b2+bn=13+（13-1+23-2+（n-1）31-n），所以3Tn=1+（130+23-1+33-2+（n-1）32-n），两式相减得：2Tn=23+30+3-1+3-2+32-n-（n-1）31-n=23+131n131-（n-1）31-n=136-6n+323n，所以Tn=1312-6n+343n，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=1312-6n+343n【解析】（）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n1时，2Sn-1=3n-1+3，两式相减2an=2Sn-2Sn-1，可求得an=3n-1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1时，bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n，于是可求得T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（13-1+23-2+（n-1）31-n），利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题12.【答案】解：（）a，b，c成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，sinB=sin-（A+C）=sin（A+C），sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，cosB=a2+c2b22ac=a2+c2ac2ac2acac2ac=12，当且仅当a=c时等号成立，cosB的最小值为12【解析】（）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证； （）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值 此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键13.【答案】解：（）当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=sn-sn-1=n2+n2-(n1)2+(n1)2=n，数列an的通项公式是an=n（）由（）知，bn=2n+（-1）nn，记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+22n）+（-1+2-3+4-+2n）=2(122n)12+n=22n+1+n-2数列bn的前2n项和为22n+1+n-2【解析】（）利用公式法即可求得； （）利用数列分组求和即可得出结论本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题14.【答案】证明（）an+1+12an+12=3an+1+12an+12=3(an+12)an+12=3，a1+12=320，数列an+12是以首项为32，公比为3的等比数列；an+12=323n1=3n2，即an=3n12；（）由（）知1an=23n1，当n2时，3n-13n-3n-1，1an=23n123n3n1=13n1，当n=1时，1a1=132成立，当n2时，1a1+1a2+1an1+13+132+13n1=1(13)n113=32(113n)32对nN+时，1a1+1a2+1an32【解析】（）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题15.【答案】解：（）数列an的前n项和Sn=n2，可得a1=S1=1；n2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，上式对n=1也成立，则an=2n-1，nN*；（）bn=1an+an+1=12n1+2n+1=12（2n+1-2n1），则数列bn的前n项和为12（3-1+5-3+7-5+2n+1-2n1）=12（2n+1-1）【解析】（）运用数列的递推式：a1=S1；n2时，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通项；（）化简bn=（-），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题第5页，共6页