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绝对强考研数学强化资料(提高总分).doc

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2、 A都收敛于 B. 都收敛,但不一定收敛于 C可能收敛,也可能发散 D. 都发散 答:选项A正确 分析:由于,得,又由及夹逼定理得 因此,再利用得所以选项A二、无界与无穷大无界:设函数的定义域为,如果存在正数,使得则称函数在上有界,如果这样的不存在,就成函数在上无界;也就是说如果对于任何正数,总存在,使,那么函数在上无界无穷大:设函数在的某一去心邻域内有定义(或大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),只要适合不等式(或),对应的函数值总满足不等式则称函数为当(或)时的无穷大例4:下列叙述正确的是: 如果在某邻域内无界,则 如果,则在某邻域内无界解析:

3、举反例说明设,令,当时,而 故在邻域无界,但时不是无穷大量,则不正确 由定义,无穷大必无界,故正确结论:无穷大必无界,而无界未必无穷大三、函数极限不存在极限是无穷大当(或)时的无穷大的函数,按函数极限定义来说,极限是不存在的,但是为了便于叙述函数的性态,我们也说“函数的极限是无穷大”但极限不存在并不代表其极限是无穷大例5:函数,当时的极限不存在四、如果不能退出例6:,则,但由于在的任一邻域的无理点均没有定义,故无法讨论在的极限结论:如果,且在的某一去心邻域内满足,则反之,为无穷大,则为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限

4、是否相等。例7求极限解:,因而时极限不存在。 ,因而时极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意:(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换,加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。这时,一般可以用泰勒公式来求极限。(2)注意等价无穷小的条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8:求极限分析一:若将写成,再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二:用泰勒公式原式。例9:求极限解:本题切忌将用等价代换,导致结果为1。七、函数连续性的判断(1)设在间断,在连续,则在间断。而在可能连续。例10设,则在间断,在连续,在连续。若设,在间断,但在均连续。(2)“在点连续”是“在点连续”的充分

5、不必要条件。分析:由“若,则”可得“如果,则”,因此,在点连续,则在点连续。再由例10可得,在点连续并不能推出在点连续。(3)在连续,在连续,则在连续。其余结论均不一定成立。第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续,连续不一定可导。例11在连读,在处不可导。二、与可导性的关系(1)设,在连续,则在可导是在可导的充要条件。(2)设,则是在可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设,在连续,但不可导,又存在,则是在可导的充要条件。分析:若,由定义 反之,若存在,则必有。用反证法,假设,则由商的求导法则知在可导,与假设矛盾。利用上述结论,我们可以判断函数中带有

6、绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质(1)设在处存在左、右导数,若相等则在处可导;若不等,则在连续。(2)如果在内连续,且设则在处必可导且。若没有如果在内连续的条件,即设,则得不到任何结论。例11,显然设,但,因此极限不存在,从而在处不连续不可导。第三章 微分中值定理与导数的应用一、若若,不妨设,则,再由微分中值定理同理,当时,若,再由微分中值定理 同理可证时,必有第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念1. ,使得当,且时,有,那么成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实

7、上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中的条件略去,函数就在连续吗?为什么? 如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由此对,都有,从而,因此我们得到,即函数在点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数, 连续Z可微 连续 极限存在偏导数, 连续偏导数, 存在2. 判断二元函数在原点处是否可微.对于函数,先计算两个偏导数:又令,则上式为因而在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1.

8、设,可微,求.8.5隐函数的求导1. 设,都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数,证明.对于方程,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且,则由方程可以确定函数,即是,的函数,而,是自变量,此时具有偏导数,同理, ,所以.8.6多元函数的极值及其求法1.设在点处具有偏导数,若,则函数在该点取得极值,命题是否正确? 不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点,且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值? 不一定,对于一元函数来说上述结论是成立的,但对于多元函数,情况较为复杂,一般来说结论不能简单的推广。 例如,二元函数,由二元函数极值判别法: ,解得 , 解得 故得驻点, 由于 ,以及,所以,是函数的惟一极小值点,但是,故不是在D上的最小值.第十一章 无穷级数11.1常数项级数的概念和性质1. 若通项,则级数收敛,这种说法是否正确?否2. 若级数加括号后所成的新级数发散,则原级数必定发散,而加括号后所的级数收敛,则无法判定原级数的敛散性,这种说法是否正确?正确11.2常数项级数的审敛法1. 若级数收敛,则级数一定收敛。判断这句话是否正确?不正确,如,2. 若正项级数收敛,判断级数的敛散性。 收敛 因为,由于收敛,收敛,于是收敛。3. 收敛则一定绝对收敛,绝对收敛不一定收敛。8 / 8

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